Để chứng minh bất đẳng thức \((a + b) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geq 4\) với \(a\) và \(b\) là các số dương, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng tổng quát là:
\[
\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)
\]

Áp dụng bất đẳng thức này cho trường hợp \(n = 2\), ta có:
\[
(a \cdot 1 + b \cdot 1)^2 \leq (a^2 + b^2)(1^2 + 1^2)
\]

Điều này tương đương với:
\[
(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Chia cả hai vế cho \(ab\), ta được:
\[
\frac{(a + b)^2}{ab} \leq \frac{2(a^2 + b^2)}{ab}
\]

Điều này tương đương với:
\[
\frac{a^2 + 2ab + b^2}{ab} \leq 2 \left( \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} \right)
\]

Rút gọn ta được:
\[
\frac{a^2}{ab} + \frac{2ab}{ab} + \frac{b^2}{ab} \leq 2 \left( \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} \right)
\]

Điều này tương đương với:
\[
\frac{a}{b} + 2 + \frac{b}{a} \leq 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)
\]

Chúng ta có thể thấy rằng:
\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2
\]

Do đó:
\[
(a + b) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geq 4
\]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức \((a + b) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geq 4\).