Chứng minh tia BN cất tia KD tại P. Chứng minh các đường thẳng PM, BD, KN đồng qui

Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các bước chứng minh theo thứ tự các yêu cầu đã cho.

1) Chứng minh: \( AM = CN \).

Do \( BM \) và \( DN \) vuông góc với \( AC \) tại \( M \) và \( N \), ta có:
- \( BM \perp AC \)
- \( DN \perp AC \)

Vì \( ABCD \) là hình bình hành nên \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \). Do đó, \( AC \) là đường chéo của hình bình hành và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

Do đó, \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \). Vậy \( AM = CN \).

2) Chứng minh tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành.

Ta có:
- \( BM \parallel DN \) (do cùng vuông góc với \( AC \))
- \( BM = DN \) (do \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \))

Vậy tứ giác \( BMDN \) có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên \( BMDN \) là hình bình hành.

3) Gọi \( K \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( M \). Tứ giác \( ADKC \) là hình gì? Vì sao?

Do \( K \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( M \), nên \( M \) là trung điểm của \( BK \). Do đó, \( BK \) là đường chéo của hình bình hành \( BMDN \).

Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( K \) cũng là điểm đối xứng với \( D \) qua \( M \). Do đó, \( M \) là trung điểm của \( DK \).

Vậy tứ giác \( ADKC \) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo, nên \( ADKC \) là hình bình hành.

4) Tia \( BN \) cắt tia \( KD \) tại \( P \). Chứng minh các đường thẳng \( PM \), \( BD \), \( KN \) đồng quy.

Do \( BN \) và \( KD \) cắt nhau tại \( P \), ta có:
- \( P \) thuộc \( BN \)
- \( P \) thuộc \( KD \)

Ta cần chứng minh \( PM \), \( BD \), \( KN \) đồng quy tại \( P \).

Do \( BMDN \) là hình bình hành, nên \( BD \) và \( MN \) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Do đó, \( P \) là trung điểm của \( BD \) và \( MN \).

Do \( K \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( M \), nên \( K \) cũng là điểm đối xứng với \( D \) qua \( N \). Do đó, \( P \) là trung điểm của \( KN \).

Vậy các đường thẳng \( PM \), \( BD \), \( KN \) đồng quy tại \( P \).