Để chứng minh các hệ thức trong bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

**Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH**

**a) Hãy chỉ ra và chứng minh các cặp tam giác đồng dạng trên hình vẽ đó**

Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có các tam giác đồng dạng sau:

1. Tam giác AHB và tam giác ABC:
- Góc AHB = góc ABC (cùng bằng 90 độ)
- Góc BAH = góc BAC (góc chung)

2. Tam giác AHC và tam giác ABC:
- Góc AHC = góc ABC (cùng bằng 90 độ)
- Góc CAH = góc CAB (góc chung)

3. Tam giác AHB và tam giác AHC:
- Góc AHB = góc AHC (cùng bằng 90 độ)
- Góc BAH = góc CAH (góc chung)

**b) Chứng minh các hệ thức sau**

1. \( AB^2 = BH \cdot BC \)

Ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác ABC:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} \implies AB^2 = BH \cdot BC
\]

2. \( AC^2 = CH \cdot BC \)

Ta có tam giác AHC đồng dạng với tam giác ABC:
\[
\frac{AC}{BC} = \frac{CH}{AC} \implies AC^2 = CH \cdot BC
\]

3. \( AH^2 = BH \cdot CH \)

Ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{CH}{AH} \implies AH^2 = BH \cdot CH
\]

4. \( AH \cdot BC = AB \cdot AC \)

Ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AC}{BC} \implies AH \cdot BC = AB \cdot AC
\]

5. \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

Đây là định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

6. \( \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \)

Từ hệ thức \( AH^2 = BH \cdot CH \), ta có:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{BH \cdot CH}
\]
Mà \( BH = \frac{AB^2}{BC} \) và \( CH = \frac{AC^2}{BC} \), nên:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{\frac{AB^2}{BC} \cdot \frac{AC^2}{BC}} = \frac{BC^2}{AB^2 \cdot AC^2} = \frac{AB^2 + AC^2}{AB^2 \cdot AC^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong các hệ thức yêu cầu.