Để chứng minh rằng tam giác AMC = tam giác ABN, ta cần chứng minh rằng hai tam giác này bằng nhau theo một trong các trường hợp bằng nhau của tam giác (cạnh-cạnh-cạnh, cạnh-góc-cạnh, góc-cạnh-góc, góc-góc-cạnh, hoặc cạnh-góc-góc).

### a) Chứng minh rằng: \( \triangle AMC = \triangle ABN \)

1. **Xét tam giác vuông cân ABM và ACN:**
- Tam giác ABM và ACN là tam giác vuông cân tại A, do đó:
- \( \angle BAM = \angle CAM = 45^\circ \)
- \( \angle ABM = \angle ACN = 45^\circ \)
- \( AB = AM \) và \( AC = AN \)

2. **Xét tam giác AMC và ABN:**
- Xét hai tam giác AMC và ABN:
- \( \angle MAC = \angle NAB = 45^\circ \) (do \( \angle BAM = \angle CAM = 45^\circ \))
- \( \angle MCA = \angle NBA = 45^\circ \) (do \( \angle ABM = \angle ACN = 45^\circ \))
- \( AC = AB \) (do tam giác ABC là tam giác chung)

Do đó, ta có:
- \( \angle MAC = \angle NAB \)
- \( \angle MCA = \angle NBA \)
- \( AC = AB \)

Theo trường hợp góc-cạnh-góc (G-C-G), ta có:
\[ \triangle AMC = \triangle ABN \]

### b) Chứng minh rằng: \( BN \perp CM \)

1. **Xét tam giác vuông cân ABM và ACN:**
- Tam giác ABM và ACN là tam giác vuông cân tại A, do đó:
- \( \angle BAM = \angle CAM = 45^\circ \)
- \( \angle ABM = \angle ACN = 45^\circ \)

2. **Xét góc giữa BN và CM:**
- \( \angle ABN = 90^\circ \) (do tam giác ABN vuông tại B)
- \( \angle ACM = 90^\circ \) (do tam giác ACM vuông tại C)

Do đó, \( \angle ABN + \angle ACM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vì vậy, BN và CM là hai đường thẳng vuông góc với nhau:
\[ BN \perp CM \]

### c) Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN

1. **Xét tam giác vuông cân ABM và ACN:**
- Tam giác ABM và ACN là tam giác vuông cân tại A, do đó:
- \( \angle BAM = \angle CAM = 45^\circ \)
- \( \angle ABM = \angle ACN = 45^\circ \)

2. **Xét đường cao AH của tam giác ABC:**
- AH là đường cao của tam giác ABC, do đó AH vuông góc với BC tại H.

3. **Xét trung điểm của MN:**
- Do tam giác ABM và ACN là tam giác vuông cân tại A, nên M và N đối xứng nhau qua đường cao AH của tam giác ABC.

Do đó, AH đi qua trung điểm của MN.

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.