Để chứng minh đẳng thức \((A^2 - 1^2) + (4a^2) = (a^2 + 1)^2\), ta sẽ thực hiện các bước biến đổi đại số như sau:

1. Bắt đầu với vế trái của đẳng thức:
\[
(A^2 - 1^2) + (4a^2)
\]

2. Nhớ rằng \(1^2 = 1\), ta có thể viết lại vế trái như sau:
\[
(A^2 - 1) + 4a^2
\]

3. Tiếp theo, ta sẽ khai triển vế phải của đẳng thức:
\[
(a^2 + 1)^2
\]

4. Sử dụng công thức khai triển bình phương của một tổng, ta có:
\[
(a^2 + 1)^2 = a^2 \cdot a^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = a^4 + 2a^2 + 1
\]

5. Bây giờ, ta sẽ so sánh hai vế của đẳng thức. Ta cần chứng minh rằng:
\[
(A^2 - 1) + 4a^2 = a^4 + 2a^2 + 1
\]

6. Để làm điều này, ta sẽ xem xét từng phần của vế trái:
\[
A^2 - 1 + 4a^2
\]

7. Ta cần kiểm tra xem \(A^2 - 1 + 4a^2\) có bằng \(a^4 + 2a^2 + 1\) hay không. Để làm điều này, ta sẽ đặt \(A = a^2 + 1\) và thay vào vế trái:
\[
(a^2 + 1)^2 - 1 + 4a^2
\]

8. Khai triển \((a^2 + 1)^2\):
\[
(a^2 + 1)^2 = a^4 + 2a^2 + 1
\]

9. Thay vào vế trái:
\[
(a^4 + 2a^2 + 1) - 1 + 4a^2
\]

10. Rút gọn biểu thức:
\[
a^4 + 2a^2 + 1 - 1 + 4a^2 = a^4 + 2a^2 + 4a^2 = a^4 + 6a^2
\]

11. So sánh với vế phải:
\[
a^4 + 2a^2 + 1
\]

Rõ ràng, hai vế không bằng nhau. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc trong quá trình giải. Hãy kiểm tra lại đề bài hoặc xem xét lại các bước giải.