Để tính giá trị của biểu thức A và tìm giá trị của \( x \) trong các bài toán sau, ta thực hiện các bước như sau:

**Bài 4: Tính giá trị của biểu thức \( A \)**

\[ A = \frac{25^6 + 5^4}{25^5 + 25} \]

Đầu tiên, ta phân tích các số mũ:

\[ 25 = 5^2 \]

Do đó:

\[ 25^6 = (5^2)^6 = 5^{12} \]
\[ 25^5 = (5^2)^5 = 5^{10} \]
\[ 5^4 = 5^4 \]
\[ 25 = 5^2 \]

Thay vào biểu thức A:

\[ A = \frac{5^{12} + 5^4}{5^{10} + 5^2} \]

Ta có thể đặt \( 5^2 \) ra ngoài làm nhân tử chung ở cả tử và mẫu:

\[ A = \frac{5^4(5^8 + 1)}{5^2(5^8 + 1)} \]

Rút gọn \( 5^8 + 1 \):

\[ A = \frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là:

\[ A = 25 \]

**Bài 5: Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) biết:**

a) \( 3^x + 3^{x+2} = 9^{17} + 27^{12} \)

Ta phân tích các số mũ:

\[ 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{17} = (3^2)^{17} = 3^{34} \]
\[ 27 = 3^3 \Rightarrow 27^{12} = (3^3)^{12} = 3^{36} \]

Do đó phương trình trở thành:

\[ 3^x + 3^{x+2} = 3^{34} + 3^{36} \]

Ta đặt \( 3^x \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\[ 3^x(1 + 3^2) = 3^{34} + 3^{36} \]
\[ 3^x \cdot 10 = 3^{34} + 3^{36} \]

Ta thấy rằng \( 3^{36} = 3^{34} \cdot 3^2 \):

\[ 3^x \cdot 10 = 3^{34}(1 + 3^2) \]
\[ 3^x \cdot 10 = 3^{34} \cdot 10 \]

Do đó:

\[ 3^x = 3^{34} \]

Suy ra:

\[ x = 34 \]

b) \( \frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8 \)

Ta đặt \( 2^x \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\[ \frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8 \]
\[ \frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2^x = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2^7 \]
\[ 2^x \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) = 2^7 \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) \]

Ta có thể rút gọn:

\[ 2^x = 2^7 \]

Suy ra:

\[ x = 7 \]

c) \( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \cdot 6^x + 6^{x+2} = 6^{15} + 6^{18} \)

Ta tính giá trị của \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \):

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \]

Do đó phương trình trở thành:

\[ \frac{1}{6} \cdot 6^x + 6^{x+2} = 6^{15} + 6^{18} \]

Ta đặt \( 6^x \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\[ 6^x \left( \frac{1}{6} + 6^2 \right) = 6^{15} + 6^{18} \]
\[ 6^x \left( \frac{1}{6} + 36 \right) = 6^{15} + 6^{18} \]
\[ 6^x \left( \frac{1 + 216}{6} \right) = 6^{15} + 6^{18} \]
\[ 6^x \cdot 36.1667 = 6^{15} + 6^{18} \]

Ta thấy rằng \( 6^{18} = 6^{15} \cdot 6^3 \):

\[ 6^x \cdot 36.1667 = 6^{15} \cdot (1 + 6^3) \]
\[ 6^x \cdot 36.1667 = 6^{15} \cdot 217 \]

Do đó:

\[ 6^x = 6^{15} \]

Suy ra:

\[ x = 15 \]

Vậy các giá trị của \( x \) là:

a) \( x = 34 \)

b) \( x = 7 \)

c) \( x = 15 \)