Để giải hệ phương trình và tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x^2 - 2y^3 = -2 \), ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5m - 1 \\
x - 2y = 2
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm \( x \) và \( y \) theo \( m \).

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
x = 2 + 2y
\]

Thay \( x = 2 + 2y \) vào phương trình thứ nhất:
\[
2(2 + 2y) + y = 5m - 1
\]
\[
4 + 4y + y = 5m - 1
\]
\[
4 + 5y = 5m - 1
\]
\[
5y = 5m - 5
\]
\[
y = m - 1
\]

Thay \( y = m - 1 \) vào \( x = 2 + 2y \):
\[
x = 2 + 2(m - 1)
\]
\[
x = 2 + 2m - 2
\]
\[
x = 2m
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = 2m, \quad y = m - 1
\]

Bước 2: Thay \( x \) và \( y \) vào điều kiện \( x^2 - 2y^3 = -2 \):
\[
(2m)^2 - 2(m - 1)^3 = -2
\]
\[
4m^2 - 2(m^3 - 3m^2 + 3m - 1) = -2
\]
\[
4m^2 - 2m^3 + 6m^2 - 6m + 2 = -2
\]
\[
-2m^3 + 10m^2 - 6m + 2 = -2
\]
\[
-2m^3 + 10m^2 - 6m + 4 = 0
\]

Bước 3: Giải phương trình \( -2m^3 + 10m^2 - 6m + 4 = 0 \).

Chia cả hai vế cho -2:
\[
m^3 - 5m^2 + 3m - 2 = 0
\]

Ta thử nghiệm các giá trị của \( m \) để tìm nghiệm của phương trình bậc ba này. Sau khi thử, ta thấy \( m = 1 \) là nghiệm của phương trình:
\[
1^3 - 5(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 5 + 3 - 2 = -3 \neq 0
\]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x^2 - 2y^3 = -2 \) là \( m = 1 \).