Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x; y là các số nguyên

Để tìm các giá trị nguyên của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( x, y \) là các số nguyên, ta sẽ giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
mx + 2my + 5 = 4m - x - 2y \\
(m+1)(2x - 3y) = m - 4
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải từng phương trình một.

**Phương trình thứ nhất:**

\[
mx + 2my + 5 = 4m - x - 2y
\]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) và \( y \) sang một bên:

\[
mx + 2my + x + 2y = 4m - 5
\]

Gộp các hạng tử chứa \( x \) và \( y \):

\[
(m+1)x + (2m+2)y = 4m - 5
\]

**Phương trình thứ hai:**

\[
(m+1)(2x - 3y) = m - 4
\]

Mở rộng phương trình:

\[
2(m+1)x - 3(m+1)y = m - 4
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
(m+1)x + (2m+2)y = 4m - 5 \\
2(m+1)x - 3(m+1)y = m - 4
\end{cases}
\]

Chia phương trình thứ hai cho \( m+1 \):

\[
2x - 3y = \frac{m - 4}{m+1}
\]

Để \( 2x - 3y \) là số nguyên, thì \( \frac{m - 4}{m+1} \) phải là số nguyên. Gọi \( k \) là số nguyên:

\[
m - 4 = k(m + 1)
\]

Giải phương trình này cho \( m \):

\[
m - 4 = km + k
\]

\[
m - km = k + 4
\]

\[
m(1 - k) = k + 4
\]

\[
m = \frac{k + 4}{1 - k}
\]

Để \( m \) là số nguyên, thì \( \frac{k + 4}{1 - k} \) phải là số nguyên. Ta sẽ thử các giá trị nguyên của \( k \):

- Với \( k = 0 \): \( m = \frac{4}{1} = 4 \)
- Với \( k = 1 \): \( m = \frac{5}{0} \) (không xác định)
- Với \( k = -1 \): \( m = \frac{3}{2} \) (không nguyên)
- Với \( k = 2 \): \( m = \frac{6}{-1} = -6 \)
- Với \( k = -2 \): \( m = \frac{2}{3} \) (không nguyên)
- Với \( k = 3 \): \( m = \frac{7}{-2} \) (không nguyên)
- Với \( k = -3 \): \( m = \frac{1}{4} \) (không nguyên)

Vậy các giá trị nguyên của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( x, y \) là các số nguyên là \( m = 4 \) và \( m = -6 \).