Để giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\
\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = 4
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{x} = u \) và \( \frac{1}{y} = v \), ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
u + v = \frac{3}{4} \\
5u + 6v = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Từ phương trình đầu tiên, ta có \( v = \frac{3}{4} - u \).
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5u + 6\left(\frac{3}{4} - u\right) = 4 \\
5u + \frac{18}{4} - 6u = 4 \\
-u + \frac{9}{2} = 4 \\
-u = 4 - \frac{9}{2} \\
-u = \frac{8}{2} - \frac{9}{2} \\
-u = -\frac{1}{2} \\
u = \frac{1}{2}
\]

Thay \( u = \frac{1}{2} \) vào \( v = \frac{3}{4} - u \):
\[
v = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \) và \( \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \), suy ra \( x = 2 \) và \( y = 4 \).

### b)
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x} - \frac{5}{y} = 1 \\
\frac{-1}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{x} = u \) và \( \frac{1}{y} = v \), ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
2u - 5v = 1 \\
-u + 3v = \frac{2}{5}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
-2u + 6v = \frac{4}{5}
\]

2. Cộng hai phương trình:
\[
2u - 5v - 2u + 6v = 1 + \frac{4}{5} \\
v = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}
\]

3. Thay \( v = \frac{9}{5} \) vào phương trình đầu tiên:
\[
2u - 5 \cdot \frac{9}{5} = 1 \\
2u - 9 = 1 \\
2u = 10 \\
u = 5
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = 5 \) và \( \frac{1}{y} = \frac{9}{5} \), suy ra \( x = \frac{1}{5} \) và \( y = \frac{5}{9} \).

### c)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = -1 \\
\frac{2}{x-2} + \frac{3}{y-1} = 8
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{x-2} = u \) và \( \frac{1}{y-1} = v \), ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
u + v = -1 \\
2u + 3v = 8
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Từ phương trình đầu tiên, ta có \( v = -1 - u \).
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2u + 3(-1 - u) = 8 \\
2u - 3 - 3u = 8 \\
-u - 3 = 8 \\
-u = 11 \\
u = -11
\]

Thay \( u = -11 \) vào \( v = -1 - u \):
\[
v = -1 - (-11) = -1 + 11 = 10
\]

Vậy \( \frac{1}{x-2} = -11 \) và \( \frac{1}{y-1} = 10 \), suy ra \( x-2 = -\frac{1}{11} \) và \( y-1 = \frac{1}{10} \), tức là \( x = 2 - \frac{1}{11} = \frac{21}{11} \) và \( y = 1 + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} \).

### d)
\[
\begin{cases}
\frac{2}{2x-y} + \frac{3}{x-2y} = \frac{1}{2} \\
\frac{2}{2x-y} + \frac{1}{x-2y} = \frac{1}{18}
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{2x-y} = u \) và \( \frac{1}{x-2y} = v \), ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
2u + 3v = \frac{1}{2} \\
2u + v = \frac{1}{18}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên:
\[
(2u + 3v) - (2u + v) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} \\
2v = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} \\
2v = \frac{9}{18} - \frac{1}{18} \\
2v = \frac{8}{18} \\
v = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}
\]

2. Thay \( v = \frac{2}{9} \) vào phương trình thứ hai:
\[
2u + \frac{2}{9} = \frac{1}{18} \\
2u = \frac{1}{18} - \frac{2}{9} \\
2u = \frac{1}{18} - \frac{4}{18} \\
2u = -\frac{3}{18} \\
2u = -\frac{1}{6} \\
u = -\frac{1}{12}
\]

Vậy \( \frac{1}{2x-y} = -\frac{1}{12} \) và \( \frac{1}{x-2y} = \frac{2}{9} \), suy ra \( 2x-y = -12 \) và \( x-2y = \frac{9}{2} \).

Giải hệ phương trình này:
1. Từ phương trình đầu tiên, ta có \( y = 2x + 12 \).
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
x - 2(2x + 12) = \frac{9}{2} \\
x - 4x - 24 = \frac{9}{2} \\
-3x - 24 = \frac{9}{2} \\
-3x = \frac{9}{2} + 24 \\
-3x = \frac{9}{2} + \frac{48}{2} \\
-3x = \frac{57}{2} \\
x = -\frac{57}{6} = -\frac{19}{2}
\]

Thay \( x = -\frac{19}{2} \) vào \( y = 2x + 12 \):
\[
y = 2(-\frac{19}{2}) + 12 = -19 + 12 = -7
\]

Vậy \( x = -\frac{19}{2} \) và \( y = -7 \).