Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình có nghiệm \((x; y) = (1; 3)\), ta thay giá trị \(x = 1\) và \(y = 3\) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + by = a \\
bx + ay = 5
\end{cases}
\]

Thay \(x = 1\) và \(y = 3\) vào phương trình đầu tiên:

\[
2(1) + b(3) = a \implies 2 + 3b = a \implies a = 2 + 3b
\]

Thay \(x = 1\) và \(y = 3\) vào phương trình thứ hai:

\[
b(1) + a(3) = 5 \implies b + 3a = 5
\]

Thay \(a = 2 + 3b\) vào phương trình \(b + 3a = 5\):

\[
b + 3(2 + 3b) = 5 \implies b + 6 + 9b = 5 \implies 10b + 6 = 5 \implies 10b = -1 \implies b = -\frac{1}{10}
\]

Thay \(b = -\frac{1}{10}\) vào phương trình \(a = 2 + 3b\):

\[
a = 2 + 3\left(-\frac{1}{10}\right) = 2 - \frac{3}{10} = \frac{20}{10} - \frac{3}{10} = \frac{17}{10}
\]

Vậy, giá trị của \(a\) và \(b\) là:

\[
a = \frac{17}{10}, \quad b = -\frac{1}{10}
\]