Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB < AC\). Đường cao từ \(A\) hạ xuống \(BC\) là \(AH\).

**a) Chứng minh tam giác \(ABC \sim HBA\):**

Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(HBA\):

- Góc \(A\) chung.
- Góc \(ABC = 90^\circ\) và góc \(HBA = 90^\circ\).

Vì hai tam giác có hai góc bằng nhau, nên tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(HBA\) theo trường hợp đồng dạng góc - góc (AA).

**b) Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(BC\). Chứng minh \(AC \cdot DH = BH \cdot HC\):**

Gọi đường thẳng song song với \(AC\) qua \(H\) cắt \(BC\) tại \(D\).

Do \(HD \parallel AC\), ta có:
- \(\triangle AHD \sim \triangle AHC\) (góc đồng vị và góc đối đỉnh).

Từ đồng dạng ta có:
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{DH}{HC}
\]
hay:
\[
AH \cdot HC = AC \cdot DH \quad (1)
\]

Mặt khác, từ tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta có:
\[
AC \cdot DH = BH \cdot HC
\]

**c) Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(CD\) tại \(E\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(BE\) và \(AH\). Trên đoạn thẳng \(CD\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BA = BG\). Chứng minh \(BG\) vuông góc với \(FG\):**

Gọi \(F\) là giao điểm của \(BE\) và \(AH\).

Do \(BE \perp CD\) tại \(E\), ta có:
- \(BE \perp CD\).

Gọi \(G\) là điểm trên \(CD\) sao cho \(BA = BG\).

Xét tam giác \(BAG\) và tam giác \(BFG\):

- \(BA = BG\) (giả thiết).
- \(BE \perp CD\) tại \(E\), nên \(BE \perp FG\) tại \(F\).

Do đó, \(BG\) vuông góc với \(FG\).

Vậy ta đã chứng minh được \(BG \perp FG\).