Để tính tổng \( S \), ta cần tính tổng của dãy số sau:

\[ S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(1 - \frac{1}{8}\right) + \ldots + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \]

Ta có thể tách tổng này thành hai phần:

\[ S = \left(1 + 1 + 1 + \ldots + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}\right) \]

Phần đầu tiên là tổng của \( n \) số 1, nên giá trị của nó là \( n \).

Phần thứ hai là tổng của một dãy số hình học với công bội \( \frac{1}{2} \). Tổng của dãy số hình học này có thể được tính bằng công thức:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n} \]

Vậy tổng \( S \) sẽ là:

\[ S = n - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = n - 1 + \frac{1}{2^n} \]

Để tính \( S_{10} \), ta thay \( n = 10 \) vào công thức trên:

\[ S_{10} = 10 - 1 + \frac{1}{2^{10}} = 9 + \frac{1}{1024} \]

\[ S_{10} = 9 + 0.0009765625 \]

Vậy:

\[ S_{10} \approx 9.0009765625 \]