Để chứng minh rằng biểu thức \( M = -x^2 + 12x - 100 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \), ta cần phân tích biểu thức này và tìm giá trị lớn nhất của nó.

Biểu thức \( M = -x^2 + 12x - 100 \) là một hàm bậc hai có dạng \( M = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 12 \), và \( c = -100 \).

Đầu tiên, ta xác định đỉnh của parabol này. Đỉnh của một parabol \( ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x \) được tính bằng công thức:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Thay các giá trị \( a \) và \( b \) vào công thức trên:
\[ x = -\frac{12}{2(-1)} = \frac{12}{2} = 6 \]

Bây giờ, ta tính giá trị của \( M \) tại \( x = 6 \):
\[ M(6) = -6^2 + 12 \cdot 6 - 100 \]
\[ = -36 + 72 - 100 \]
\[ = 36 - 100 \]
\[ = -64 \]

Giá trị lớn nhất của \( M \) là \( -64 \), và vì \( -64 \) là một số âm, nên \( M \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng biểu thức \( M = -x^2 + 12x - 100 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \).