Rút gọn biểu thức M

Để rút gọn biểu thức \( M \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ M = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{10} + \sqrt{16}} \right) (\sqrt{2} + 1) \]

Trước hết, ta rút gọn các căn bậc hai trong biểu thức:
- \(\sqrt{4} = 2\)
- \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{16} = 4\)

Thay các giá trị này vào biểu thức:
\[ M = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10} + 4} \right) (\sqrt{2} + 1) \]

Tiếp theo, ta cộng các số trong tử và mẫu:
- Tử số: \(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5}\)
- Mẫu số: \(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10} + 4\)

Gộp các số giống nhau trong mẫu số:
\[ \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]

Biểu thức trở thành:
\[ M = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5}}{3\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + 4} \right) (\sqrt{2} + 1) \]

Ta nhận thấy rằng không thể rút gọn thêm được nữa. Vì vậy, biểu thức đã rút gọn của \( M \) là:
\[ M = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5}}{3\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + 4} \right) (\sqrt{2} + 1) \]