Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các đường song song. Hãy cùng đi qua từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABC = tam giác DCB

1. **Đặt vấn đề:**
- Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng qua C song song với AB tại D.
- Gọi giao điểm của AD và BC là O.

2. **Chứng minh:**
- Vì BD // AC và CD // AB, nên tứ giác ABDC là hình bình hành (do hai cặp cạnh đối song song).
- Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau, do đó:
- AB = CD
- AC = BD
- Xét tam giác ABC và tam giác DCB:
- AB = CD (cạnh đối của hình bình hành)
- AC = BD (cạnh đối của hình bình hành)
- BC là cạnh chung
- Do đó, tam giác ABC và tam giác DCB có ba cạnh tương ứng bằng nhau, nên chúng là hai tam giác bằng nhau (theo định lý cạnh-cạnh-cạnh).

### Phần b: Chứng minh OA = OD, OB = OC

1. **Đặt vấn đề:**
- Gọi O là giao điểm của AD và BC.

2. **Chứng minh:**
- Vì ABDC là hình bình hành, nên AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.
- Do đó, O là trung điểm của cả AD và BC.
- Vì O là trung điểm của AD, nên OA = OD.
- Vì O là trung điểm của BC, nên OB = OC.

### Phần c: Chứng minh OI = OJ

1. **Đặt vấn đề:**
- Đường thẳng xy đi qua O cắt AB và CD lần lượt tại I và J.

2. **Chứng minh:**
- Vì ABDC là hình bình hành, nên AB // CD.
- Đường thẳng xy đi qua O cắt AB tại I và CD tại J.
- Do AB // CD, nên các đoạn thẳng AI và CJ cũng song song và bằng nhau (do tính chất của hình bình hành và các đường song song).
- Vì O là trung điểm của AD và BC, và xy đi qua O, nên O là trung điểm của IJ (do tính chất của đường trung bình trong hình bình hành).
- Do đó, OI = OJ.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.