Để giải bài toán này, chúng ta cần tính diện tích của các tam giác dựa trên các thông tin đã cho.

### a. Diện tích tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
Với \( BC = 11 \) cm và \( AH = 4 \) cm, ta có:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 11 \times 4 = 22 \text{ cm}^2 \]

### b. Diện tích tam giác ABM
Để tính diện tích tam giác ABM, ta cần biết độ dài BM. Theo đề bài, BM = 2MN = 3NC. Gọi độ dài NC là \( x \), ta có:
\[ BM = 3x \]
\[ MN = \frac{3x}{2} \]
\[ BM + MN + NC = 11 \]
\[ 3x + \frac{3x}{2} + x = 11 \]
\[ 3x + 1.5x + x = 11 \]
\[ 5.5x = 11 \]
\[ x = 2 \]
Vậy:
\[ NC = 2 \text{ cm} \]
\[ MN = 3 \text{ cm} \]
\[ BM = 6 \text{ cm} \]

Diện tích tam giác ABM được tính bằng công thức:
\[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \times BM \times AH \]
\[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \text{ cm}^2 \]

### c. Diện tích tam giác AMN
Diện tích tam giác AMN được tính bằng công thức:
\[ S_{AMN} = \frac{1}{2} \times MN \times AH \]
\[ S_{AMN} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2 \]

### d. Diện tích tam giác ANC
Diện tích tam giác ANC được tính bằng công thức:
\[ S_{ANC} = \frac{1}{2} \times NC \times AH \]
\[ S_{ANC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \text{ cm}^2 \]

Vậy các kết quả là:
a. Diện tích tam giác ABC là 22 cm²
b. Diện tích tam giác ABM là 12 cm²
c. Diện tích tam giác AMN là 6 cm²
d. Diện tích tam giác ANC là 4 cm²