Để chứng minh \(MC = BN\) trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt các điểm và đoạn thẳng:**
- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nghĩa là \(AB = AC\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(AM = MB\).
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AN = NC\).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có:
\[
AM = \frac{AB}{2}
\]
- Vì \(N\) là trung điểm của \(AC\), ta có:
\[
AN = \frac{AC}{2}
\]

3. **Sử dụng tính chất tam giác cân:**
- Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), ta có:
\[
AB = AC
\]

4. **Xét hai tam giác \(AMC\) và \(ANB\):**
- Trong tam giác \(AMC\):
- \(AM = \frac{AB}{2}\)
- \(MC\) là đoạn thẳng từ \(M\) đến \(C\).

- Trong tam giác \(ANB\):
- \(AN = \frac{AC}{2}\)
- \(BN\) là đoạn thẳng từ \(N\) đến \(B\).

5. **Chứng minh \(MC = BN\):**
- Xét tam giác \(AMC\) và tam giác \(ANB\):
- \(AM = AN\) (vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), và \(AB = AC\)).
- \(AC = AB\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
- Góc \(MAC\) bằng góc \(BAN\) (vì chúng là góc đối đỉnh).

- Do đó, hai tam giác \(AMC\) và \(ANB\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS):
\[
\triangle AMC \cong \triangle ANB
\]

- Từ đó, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:
\[
MC = BN
\]

Vậy, ta đã chứng minh được \(MC = BN\).