Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các định lý hình học.

**a) Chứng minh ΔABE ~ ΔADC:**

Ta có:
- AD là đường phân giác của tam giác ABC, do đó:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Theo giả thiết, góc \( \angle ABE = \angle ADC \).

Xét hai tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ADC \):
- \( \angle ABE = \angle ADC \) (giả thiết).
- \( \angle BAE = \angle CAD \) (vì AD là đường phân giác của tam giác ABC).

Do đó, hai tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ADC \) có hai góc tương ứng bằng nhau, nên theo định lý góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle ABE \sim \triangle ADC
\]

**b) Chứng minh \( DA \cdot DE = DB \cdot DC \):**

Từ việc chứng minh \( \triangle ABE \sim \triangle ADC \), ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}
\]

Do đó:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{DE}{DC}
\]

Suy ra:
\[
AB \cdot DC = AD \cdot DE
\]

Nhưng từ tính chất của đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Do đó:
\[
AB \cdot DC = AC \cdot BD
\]

Kết hợp hai kết quả trên, ta có:
\[
AD \cdot DE = DB \cdot DC
\]

**c) Chứng minh \( AD^2 = AB \cdot AC - DB \cdot DC \):**

Từ \( \triangle ABE \sim \triangle ADC \), ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}
\]

Suy ra:
\[
AB \cdot AC = AD \cdot AE
\]

Từ phần b), ta có:
\[
AD \cdot DE = DB \cdot DC
\]

Do đó:
\[
AD \cdot (AD + DE) = AD^2 + AD \cdot DE = AD^2 + DB \cdot DC
\]

Suy ra:
\[
AD^2 = AB \cdot AC - DB \cdot DC
\]

Vậy ta đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.