Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tiếp tuyến và tam giác.

1. **Tính độ dài AM và AN:**

Do AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A, nên:
\[ AM = AN \]

2. **Tính độ dài BM và CN:**

Xét tam giác \( \Delta ABC \) với các cạnh \( AB = 10 \) cm, \( AC = 7 \) cm và \( BC = 6 \) cm.

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp \( ABEC \):
\[ AB \cdot EC + AC \cdot EB = AE \cdot BC \]

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \Delta ABC \):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \]

Thay các giá trị vào:
\[ 6^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos(\angle BAC) \]
\[ 36 = 100 + 49 - 140 \cdot \cos(\angle BAC) \]
\[ 36 = 149 - 140 \cdot \cos(\angle BAC) \]
\[ 140 \cdot \cos(\angle BAC) = 113 \]
\[ \cos(\angle BAC) = \frac{113}{140} \]

Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \Delta AMB \) và \( \Delta ANC \):

\[ BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\angle BAM) \]
\[ CN^2 = AC^2 + AN^2 - 2 \cdot AC \cdot AN \cdot \cos(\angle CAN) \]

Do \( AM = AN \) và \( \angle BAM = \angle CAN \), ta có thể tính được \( BM \) và \( CN \).

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông cân tại A (do \( AM = AN \)):

\[ BM = CN = \sqrt{AB^2 - AM^2} \]

Do \( AB = 10 \) cm và \( AC = 7 \) cm, ta có thể tính được \( AM \) và \( AN \) từ phương trình trên.

Tóm lại:
\[ AM = AN = \sqrt{AB^2 - BM^2} \]
\[ BM = CN = \sqrt{AB^2 - AM^2} \]

Thay các giá trị vào để tính toán cụ thể.