Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\) thỏa mãn các điều kiện đã cho và sau đó tính giá trị của biểu thức \(M = x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}\).

Điều kiện đầu tiên là:
\[ x + y + z = 3 \]

Điều kiện thứ hai là:
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz \]

Chúng ta sẽ thử tìm các giá trị cụ thể của \(x\), \(y\), và \(z\) thỏa mãn cả hai điều kiện này. Một cách tiếp cận là giả sử \(x = y = z\).

Giả sử \(x = y = z\), ta có:
\[ 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \]

Thay \(x = 1\) vào điều kiện thứ hai:
\[ 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \Rightarrow 3 = 3 \]

Như vậy, \(x = y = z = 1\) thỏa mãn cả hai điều kiện.

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \(M\):
\[ M = 1^{2023} + 1^{2023} + 1^{2023} = 1 + 1 + 1 = 3 \]

Vậy giá trị của biểu thức \(M\) là:
\[ M = 3 \]