∀ a ∈ Z, a^4 chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải quyết câu 2 và câu 3.

### Câu 2:
∀ \(a ∈ Z\), \(a^4\) chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Để chứng minh điều này, ta xét các trường hợp của \(a\) khi chia cho 8:

- Nếu \(a ≡ 0 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 0^4 ≡ 0 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 1 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 1^4 ≡ 1 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 2 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 2^4 = 16 ≡ 0 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 3 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 3^4 = 81 ≡ 1 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 4 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 4^4 = 256 ≡ 0 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 5 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 5^4 = 625 ≡ 1 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 6 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 6^4 = 1296 ≡ 0 (mod 8)\).
- Nếu \(a ≡ 7 (mod 8)\), thì \(a^4 ≡ 7^4 = 2401 ≡ 1 (mod 8)\).

Như vậy, ta thấy rằng \(a^4\) chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

### Câu 3:
Cho tập \(A\) gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, \(B\) là tập những số tự nhiên chia cho 4 dư 1. Ta luôn có \(A ∩ B = ∅\).

Để chứng minh điều này, ta xét các phần tử của \(A\) và \(B\):

- Một số \(a ∈ A\) thì \(a ≡ 1 (mod 3)\).
- Một số \(b ∈ B\) thì \(b ≡ 1 (mod 4)\).

Giả sử tồn tại một số \(x\) thuộc cả \(A\) và \(B\), tức là \(x\) thỏa mãn cả hai điều kiện:
\[ x ≡ 1 (mod 3) \]
\[ x ≡ 1 (mod 4) \]

Điều này có nghĩa là \(x\) phải thỏa mãn:
\[ x = 3k + 1 \]
\[ x = 4m + 1 \]

Từ đó, ta có:
\[ 3k + 1 = 4m + 1 \]
\[ 3k = 4m \]

Điều này có nghĩa là \(3k\) phải chia hết cho 4, nhưng điều này không thể xảy ra vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung ngoài 1). Do đó, không tồn tại số \(x\) nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Vậy, ta có \(A ∩ B = ∅\).