Để giải bài toán này, ta cần xác định lượng nước mà mỗi vòi chảy vào bể trong một giờ.

Gọi \( x \) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể (giờ).
Gọi \( y \) là thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể (giờ).

1. Khi cả hai vòi cùng chảy, bể đầy sau 6 giờ:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]

2. Khi mở vòi thứ nhất 2 giờ, sau đó mở vòi thứ hai 5 giờ thì được \( \frac{8}{15} \) bể:
\[ 2 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{y} = \frac{8}{15} \]

Ta có hệ phương trình:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]
\[ 2 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{y} = \frac{8}{15} \]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có:
\[ a + b = \frac{1}{6} \]
\[ 2a + 5b = \frac{8}{15} \]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình đầu tiên:
\[ a + b = \frac{1}{6} \]
\[ b = \frac{1}{6} - a \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 2a + 5\left(\frac{1}{6} - a\right) = \frac{8}{15} \]
\[ 2a + \frac{5}{6} - 5a = \frac{8}{15} \]
\[ -3a + \frac{5}{6} = \frac{8}{15} \]
\[ -3a = \frac{8}{15} - \frac{5}{6} \]
\[ -3a = \frac{8}{15} - \frac{5 \cdot 2.5}{15} \]
\[ -3a = \frac{8}{15} - \frac{12.5}{15} \]
\[ -3a = \frac{-4.5}{15} \]
\[ a = \frac{4.5}{45} \]
\[ a = \frac{1}{10} \]

Vậy:
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{10} \]
\[ x = 10 \]

Thay \( a = \frac{1}{10} \) vào phương trình \( b = \frac{1}{6} - a \):
\[ b = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \]
\[ b = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} \]
\[ b = \frac{2}{30} \]
\[ b = \frac{1}{15} \]

Vậy:
\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \]
\[ y = 15 \]

Kết luận:
- Vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 10 giờ bể đầy.
- Vòi thứ hai chảy một mình thì sau 15 giờ bể đầy.