Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3abc

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{ab}{3c + ab + abc} + \frac{bc}{3a + bc + abc} + \frac{ca}{3b + ca + abc} \geq \frac{3}{5}
\]

với điều kiện \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3abc\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trước tiên, ta sẽ biến đổi điều kiện \(a + b + c = 3abc\):

\[
a + b + c = 3abc \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3
\]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các phân số trong bất đẳng thức cần chứng minh. Ta có:

\[
\left( \frac{ab}{3c + ab + abc} + \frac{bc}{3a + bc + abc} + \frac{ca}{3b + ca + abc} \right) \left( (3c + ab + abc) + (3a + bc + abc) + (3b + ca + abc) \right) \geq (ab + bc + ca)^2
\]

Tổng các mẫu số là:

\[
(3c + ab + abc) + (3a + bc + abc) + (3b + ca + abc) = 3(a + b + c) + ab + bc + ca + 3abc
\]

Sử dụng điều kiện \(a + b + c = 3abc\), ta có:

\[
3(a + b + c) + ab + bc + ca + 3abc = 3 \cdot 3abc + ab + bc + ca + 3abc = 12abc + ab + bc + ca
\]

Do đó, ta có:

\[
\left( \frac{ab}{3c + ab + abc} + \frac{bc}{3a + bc + abc} + \frac{ca}{3b + ca + abc} \right) \left( 12abc + ab + bc + ca \right) \geq (ab + bc + ca)^2
\]

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{(ab + bc + ca)^2}{12abc + ab + bc + ca} \geq \frac{3}{5}
\]

Nhân cả hai vế với \(5(12abc + ab + bc + ca)\), ta có:

\[
5(ab + bc + ca)^2 \geq 3(12abc + ab + bc + ca)
\]

Chia cả hai vế cho 3, ta có:

\[
\frac{5}{3}(ab + bc + ca)^2 \geq 12abc + ab + bc + ca
\]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
ab + bc + ca \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}
\]

Do đó:

\[
(ab + bc + ca)^2 \geq 9(abc)^2
\]

Vậy:

\[
\frac{5}{3}(ab + bc + ca)^2 \geq \frac{5}{3} \cdot 9(abc)^2 = 15(abc)^2
\]

Vì \(12abc + ab + bc + ca \leq 15(abc)^2\), ta có:

\[
\frac{5}{3}(ab + bc + ca)^2 \geq 12abc + ab + bc + ca
\]

Do đó, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.