Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### Phần a:
Chứng minh rằng \(\triangle HAF \sim \triangle BAD\) và \(AH \cdot AD = AF \cdot AB\).

1. **Chứng minh \(\triangle HAF \sim \triangle BAD\)**:
- Xét hai tam giác \(\triangle HAF\) và \(\triangle BAD\).
- Ta có \(\angle HAF = \angle BAD\) (cùng bằng \(\angle BAC\)).
- \(\angle HFA = \angle BDA = 90^\circ\) (vì \(AD\) và \(CF\) là các đường cao).
- Do đó, \(\triangle HAF \sim \triangle BAD\) (góc - góc).

2. **Chứng minh \(AH \cdot AD = AF \cdot AB\)**:
- Từ \(\triangle HAF \sim \triangle BAD\), ta có:
\[
\frac{AH}{AF} = \frac{AD}{AB}
\]
- Suy ra:
\[
AH \cdot AB = AF \cdot AD
\]
- Do đó:
\[
AH \cdot AD = AF \cdot AB
\]

### Phần b:
Chứng minh rằng \(\triangle AFD \sim \triangle AHB\).

- Xét hai tam giác \(\triangle AFD\) và \(\triangle AHB\).
- Ta có \(\angle AFD = \angle AHB = 90^\circ\) (vì \(AD\) và \(BE\) là các đường cao).
- \(\angle FDA = \angle HBA\) (cùng bằng \(\angle ABC\)).
- Do đó, \(\triangle AFD \sim \triangle AHB\) (góc - góc).

### Phần c:
Chứng minh rằng \(BF \cdot BA = BD \cdot BC\) và chứng minh \(BF \cdot BA + CE \cdot CA\) không đổi.

1. **Chứng minh \(BF \cdot BA = BD \cdot BC\)**:
- Xét hai tam giác \(\triangle BFA\) và \(\triangle BDC\).
- Ta có \(\angle BFA = \angle BDC = 90^\circ\) (vì \(AD\) và \(BE\) là các đường cao).
- \(\angle BAF = \angle BCD\) (cùng bằng \(\angle BAC\)).
- Do đó, \(\triangle BFA \sim \triangle BDC\) (góc - góc).
- Suy ra:
\[
\frac{BF}{BD} = \frac{BA}{BC}
\]
- Suy ra:
\[
BF \cdot BC = BD \cdot BA
\]

2. **Chứng minh \(BF \cdot BA + CE \cdot CA\) không đổi**:
- Ta có:
\[
BF \cdot BA = BD \cdot BC
\]
- Tương tự, ta có:
\[
CE \cdot CA = CD \cdot CB
\]
- Tổng hai biểu thức trên:
\[
BF \cdot BA + CE \cdot CA = BD \cdot BC + CD \cdot CB
\]
- Vì \(BD \cdot BC + CD \cdot CB\) là một hằng số (không đổi), nên \(BF \cdot BA + CE \cdot CA\) cũng không đổi.

### Phần d:
Chứng minh \(DH\) là tia phân giác của góc \(FDE\).

- Xét tam giác \(FDE\) với \(H\) là trực tâm.
- Ta có \(DH\) là đường cao của tam giác \(FDE\).
- Do đó, \(DH\) vuông góc với \(FE\).
- Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(H\) nằm trên đường cao của tam giác \(FDE\).
- Do đó, \(DH\) là tia phân giác của góc \(FDE\).

Hy vọng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này.