Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CD. Kẻ DH L BC (H ∈ BC), trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = BE, chứng minh rằng CK=CH

Để chứng minh rằng \( CK = CH \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường trung tuyến.

1. **Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông:**
Trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), đường trung tuyến \( CD \) từ đỉnh \( C \) đến cạnh huyền \( AB \) sẽ bằng nửa cạnh huyền:
\[
CD = \frac{1}{2} AB
\]

2. **Tính chất của đường cao trong tam giác vuông:**
Đường cao \( DH \) từ đỉnh \( D \) đến cạnh \( BC \) sẽ chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, và \( DH \) vuông góc với \( BC \).

3. **Điểm \( K \) trên tia đối của tia \( AB \):**
Theo đề bài, điểm \( K \) nằm trên tia đối của tia \( AB \) sao cho \( AK = BE \). Do đó, \( K \) nằm trên đường thẳng kéo dài của \( AB \) về phía ngược lại của \( B \).

4. **Chứng minh \( CK = CH \):**
- Ta có \( AK = BE \). Do \( BE \) là đoạn thẳng từ \( B \) đến \( E \) trên cạnh \( BC \), nên \( K \) là điểm đối xứng của \( E \) qua điểm \( A \).
- Do đó, \( K \) và \( E \) đối xứng nhau qua \( A \).

- Xét tam giác \( BEC \) và tam giác \( AKC \):
+ \( BE = AK \) (theo giả thiết)
+ \( BC = AC \) (vì \( C \) là trung điểm của \( AB \))
+ \( \angle BEC = \angle AKC \) (cùng bằng \( 90^\circ \))

- Do đó, tam giác \( BEC \) và tam giác \( AKC \) đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
\[
CK = CH
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( CK = CH \).