Để giải hệ phương trình và tìm điều kiện của \( m \) để \( x > 1 \) và \( y > 0 \), ta làm như sau:

Hệ phương trình đã cho:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 2 \\
mx - y = m
\end{cases}
\]

Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Trước tiên, ta giải phương trình thứ nhất để tìm \( x \) theo \( y \):
\[
x = 2 - 2y
\]

Thay \( x = 2 - 2y \) vào phương trình thứ hai:
\[
m(2 - 2y) - y = m
\]
\[
2m - 2my - y = m
\]
\[
2m - m = 2my + y
\]
\[
m = y(2m + 1)
\]
\[
y = \frac{m}{2m + 1}
\]

Thay \( y = \frac{m}{2m + 1} \) vào phương trình \( x = 2 - 2y \):
\[
x = 2 - 2 \left( \frac{m}{2m + 1} \right)
\]
\[
x = 2 - \frac{2m}{2m + 1}
\]
\[
x = \frac{2(2m + 1) - 2m}{2m + 1}
\]
\[
x = \frac{4m + 2 - 2m}{2m + 1}
\]
\[
x = \frac{2m + 2}{2m + 1}
\]

Để \( x > 1 \) và \( y > 0 \), ta cần:
\[
\frac{2m + 2}{2m + 1} > 1
\]
\[
2m + 2 > 2m + 1
\]
\[
2 > 1
\]
Điều này luôn đúng.

Và:
\[
\frac{m}{2m + 1} > 0
\]
\[
m > 0 \quad \text{và} \quad 2m + 1 > 0 \quad \text{(vì mẫu số phải dương)}
\]
\[
m > 0 \quad \text{và} \quad m > -\frac{1}{2}
\]

Vậy điều kiện cần thiết và đủ là \( m > 0 \).

Do đó, đáp án đúng là:
A. \( m > 0 \).