Chứng minh x^2 - 6x - 16 là số chính phương

Để chứng minh một biểu thức là số chính phương, ta cần kiểm tra xem nó có thể được viết dưới dạng \( (ax + b)^2 \) hay không, trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số.

### a) \( x^2 - 6x - 16 \) là số chính phương

Giả sử \( x^2 - 6x - 16 \) là một số chính phương, tức là tồn tại \( k \) sao cho:
\[ x^2 - 6x - 16 = k^2 \]

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ x^2 - 6x - 16 - k^2 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai đối với \( x \). Để phương trình này có nghiệm, biểu thức dưới dấu căn của phương trình bậc hai phải là một số chính phương:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-16 - k^2) = 36 + 64 + 4k^2 = 100 + 4k^2 \]

Để \( \Delta \) là một số chính phương, \( 100 + 4k^2 \) phải là một số chính phương. Giả sử \( 100 + 4k^2 = m^2 \) với \( m \) là một số nguyên, ta có:
\[ m^2 - 4k^2 = 100 \]
\[ (m - 2k)(m + 2k) = 100 \]

Ta cần kiểm tra các cặp số nguyên \( (m - 2k) \) và \( (m + 2k) \) sao cho tích của chúng bằng 100. Các cặp số này là:
- (1, 100)
- (2, 50)
- (4, 25)
- (5, 20)
- (10, 10)

Tuy nhiên, không có cặp nào trong số này thỏa mãn điều kiện \( m \) và \( k \) là số nguyên. Do đó, \( x^2 - 6x - 16 \) không phải là số chính phương.

### b) \( x^2 + 2x + 38 \) là số chính phương

Giả sử \( x^2 + 2x + 38 \) là một số chính phương, tức là tồn tại \( k \) sao cho:
\[ x^2 + 2x + 38 = k^2 \]

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ x^2 + 2x + 38 - k^2 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai đối với \( x \). Để phương trình này có nghiệm, biểu thức dưới dấu căn của phương trình bậc hai phải là một số chính phương:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(38 - k^2) = 4 - 152 + 4k^2 = 4k^2 - 148 \]

Để \( \Delta \) là một số chính phương, \( 4k^2 - 148 \) phải là một số chính phương. Giả sử \( 4k^2 - 148 = m^2 \) với \( m \) là một số nguyên, ta có:
\[ 4k^2 - m^2 = 148 \]
\[ (2k - m)(2k + m) = 148 \]

Ta cần kiểm tra các cặp số nguyên \( (2k - m) \) và \( (2k + m) \) sao cho tích của chúng bằng 148. Các cặp số này là:
- (1, 148)
- (2, 74)
- (4, 37)

Tuy nhiên, không có cặp nào trong số này thỏa mãn điều kiện \( k \) và \( m \) là số nguyên. Do đó, \( x^2 + 2x + 38 \) không phải là số chính phương.

### c) \( x^2 + x + 3 \) là số chính phương

Giả sử \( x^2 + x + 3 \) là một số chính phương, tức là tồn tại \( k \) sao cho:
\[ x^2 + x + 3 = k^2 \]

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ x^2 + x + 3 - k^2 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai đối với \( x \). Để phương trình này có nghiệm, biểu thức dưới dấu căn của phương trình bậc hai phải là một số chính phương:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(3 - k^2) = 1 - 12 + 4k^2 = 4k^2 - 11 \]

Để \( \Delta \) là một số chính phương, \( 4k^2 - 11 \) phải là một số chính phương. Giả sử \( 4k^2 - 11 = m^2 \) với \( m \) là một số nguyên, ta có:
\[ 4k^2 - m^2 = 11 \]
\[ (2k - m)(2k + m) = 11 \]

Ta cần kiểm tra các cặp số nguyên \( (2k - m) \) và \( (2k + m) \) sao cho tích của chúng bằng 11. Các cặp số này là:
- (1, 11)

Tuy nhiên, không có cặp nào trong số này thỏa mãn điều kiện \( k \) và \( m \) là số nguyên. Do đó, \( x^2 + x + 3 \) không phải là số chính phương.

Tóm lại, không có biểu thức nào trong các biểu thức đã cho là số chính phương.