Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến BM. Vẽ D đối xứng với B qua C. Chứng minh góc ABM= góc CAD

Để chứng minh \(\angle ABM = \angle CAD\) trong tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến BM và điểm D đối xứng với B qua C, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất đối xứng:**
- Tam giác ABC cân tại A, nên \(AB = AC\).
- BM là đường trung tuyến, nên \(M\) là trung điểm của \(AC\).
- D là điểm đối xứng của B qua C, nên \(C\) là trung điểm của đoạn \(BD\).

2. **Xét các tam giác liên quan:**
- Do \(C\) là trung điểm của \(BD\), ta có \(BC = CD\).
- Vì \(AB = AC\) và \(BC = CD\), tam giác \(ABC\) và tam giác \(ACD\) có các cạnh tương ứng bằng nhau.

3. **Xét các góc liên quan:**
- Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(CAD\):
- Trong tam giác \(ABC\), vì \(AB = AC\), nên \(\angle BAM = \angle CAM\).
- Trong tam giác \(ACD\), vì \(AC = AD\) (do \(D\) là đối xứng của \(B\) qua \(C\)), nên \(\angle CAD = \angle CAD\).

4. **Chứng minh góc bằng nhau:**
- Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(CAD\):
- \(\angle BAM = \angle CAM\) (do tam giác ABC cân tại A).
- \(\angle CAM = \angle CAD\) (do tam giác ACD cân tại A).

Từ đó, ta có:
\[
\angle ABM = \angle CAD
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\angle ABM = \angle CAD\) mà không cần sử dụng các tính chất đồng dạng hay các kiến thức phức tạp hơn.