Để giải bài toán này, ta cần lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho. Gọi \( v \) là vận tốc ban đầu của người đi xe đạp (đơn vị: km/h) và \( t \) là thời gian dự định để đi từ A đến B (đơn vị: giờ).

1. Khi còn cách B 30 km, người đó nhận thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc \( v \) thì sẽ đến B muộn nửa giờ. Do đó, thời gian cần thiết để đi 30 km với vận tốc \( v \) là \( \frac{30}{v} \). Theo đề bài, thời gian này sẽ làm người đó đến muộn nửa giờ, tức là:
\[ t + \frac{30}{v} = t + 0.5 \]

2. Người đó tăng vận tốc thêm 5 km/h, tức là vận tốc mới là \( v + 5 \) km/h. Thời gian cần thiết để đi 30 km với vận tốc mới là \( \frac{30}{v+5} \). Theo đề bài, thời gian này sẽ làm người đó đến sớm hơn nửa giờ, tức là:
\[ t + \frac{30}{v+5} = t - 0.5 \]

Từ hai phương trình trên, ta có:
\[ \frac{30}{v} = 0.5 \]
\[ \frac{30}{v+5} = -0.5 \]

Giải phương trình đầu tiên:
\[ \frac{30}{v} = 0.5 \]
\[ 30 = 0.5v \]
\[ v = 60 \]

Giải phương trình thứ hai:
\[ \frac{30}{v+5} = -0.5 \]
\[ 30 = -0.5(v + 5) \]
\[ 30 = -0.5v - 2.5 \]
\[ 30 + 2.5 = -0.5v \]
\[ 32.5 = -0.5v \]
\[ v = -65 \]

Vì vận tốc không thể âm, nên ta chỉ lấy giá trị dương:
\[ v = 60 \]

Vậy vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là 60 km/h.