Rút gọn các biểu thức sau A = sin 10° cos 20° cos 40°

Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác.

### a) \( A = \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \)

Sử dụng công thức nhân đôi:

\[
\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} (\cos(20^\circ + 40^\circ) + \cos(20^\circ - 40^\circ) ) = \frac{1}{2} (\cos 60^\circ + \cos(-20^\circ)) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \cos 20^\circ \right)
\]

Thay vào biểu thức:

\[
A = \sin 10^\circ \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \cos 20^\circ \right) = \frac{1}{4} \sin 10^\circ + \frac{1}{2} \sin 10^\circ \cos 20^\circ
\]

Tiếp tục rút gọn:

\[
\sin 10^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} (\sin(10^\circ + 20^\circ) + \sin(10^\circ - 20^\circ)) = \frac{1}{2} (\sin 30^\circ + \sin(-10^\circ)) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \sin 10^\circ \right)
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
A = \frac{1}{4} \sin 10^\circ + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin 10^\circ = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sin 10^\circ
\]

### b) \( B = \cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x \)

Sử dụng công thức phân tích:

\[
B = (\cos^3 x - \sin^3 x) \sin x
\]

Áp dụng công thức hiệu lập phương:

\[
\cos^3 x - \sin^3 x = (\cos x - \sin x)(\cos^2 x + \cos x \sin x + \sin^2 x) = (\cos x - \sin x)(1 + \cos x \sin x)
\]

Vậy:

\[
B = (\cos x - \sin x)(1 + \cos x \sin x) \sin x
\]

### Kết luận

- \( A = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sin 10^\circ \)
- \( B = (\cos x - \sin x)(1 + \cos x \sin x) \sin x \)