Để giải bài toán tìm số tự nhiên \( x \), ta sẽ xem xét từng phần một.

### Phần a:
Ta có bất đẳng thức:
\[ 36 < 6^x \leq 7776. \]

1. **Giải bất đẳng thức \( 6^x > 36 \)**:
- \( 36 = 6^2 \) nên ta có \( 6^x > 6^2 \).
- Suy ra \( x > 2 \).

2. **Giải bất đẳng thức \( 6^x \leq 7776 \)**:
- \( 7776 = 6^5 \) nên ta có \( 6^x \leq 6^5 \).
- Suy ra \( x \leq 5 \).

Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta có:
\[ 3 \leq x \leq 5. \]
Vậy \( x \) có thể nhận các giá trị: 3, 4, 5.

### Phần b:
Ta có bất đẳng thức:
\[ \frac{2}{3} \left(\frac{8}{27}\right) \ge \left(\frac{2}{3}\right)^x \ge 1. \]

1. **Giải bất đẳng thức \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \ge 1 \)**:
- Suy ra \( x = 0 \) (vì \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \) chỉ bằng 1 khi \( x = 0 \)).

2. **Giải bất đẳng thức \( \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{27} \ge \left(\frac{2}{3}\right)^x \)**:
- Tính \( \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{81} \).
- Suy ra \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \le \frac{16}{81} \).
- Chuyển về cùng cơ số:
- Ta có \( \frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \).
- Suy ra \( x \le 4 \).

Kết hợp lại, ta có:
\[ 0 \leq x \leq 4. \]
Vậy \( x \) có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4.

### Kết luận:
- Với bài a, giá trị \( x \) là 3, 4, 5.
- Với bài b, giá trị \( x \) là 0, 1, 2, 3, 4.