Cho tứ giác ABCD. Dựng ra ngoài tứ giác các tam giác đều ABX, BCY, CDZ, DAT . Gọi M,N,P,Q là trung điểm của BX,BY,DT,DZ . Chứng minh rằng MP=NQ và MP,NQ tạo với nhau một góc 60 độ

Để chứng minh rằng \( MP = NQ \) và \( MP, NQ \) tạo với nhau một góc 60 độ, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các hình học phẳng cơ bản.

Bước 1: **Xác định vị trí của các điểm**
- Dựng các tam giác đều \( ABX \), \( BCY \), \( CDZ \), \( DAT \) bên ngoài tứ giác \( ABCD \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BX \), \( N \) là trung điểm của \( BY \), \( P \) là trung điểm của \( DT \), và \( Q \) là trung điểm của \( DZ \).

Bước 2: **Chứng minh độ dài của \( MP \) và \( NQ \)**
- Vì các tam giác \( ABX \), \( BCY \), \( CDZ \), \( DAT \) là tam giác đều, nên ta có:
\[
AB = BX = AX,
\]
\[
BC = BY = CY,
\]
\[
CD = CZ = DZ,
\]
\[
DA = DT = AT.
\]

- Sử dụng tọa độ:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a+b, c) \), \( D(b, d) \).
- Điểm \( X \) sẽ có tọa độ \( \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{2} \right) \).
- Tương tự, ta có tọa độ các điểm còn lại \( Y, Z, T \).

- Tọa độ các điểm trung điểm:
\[
M = \left( \frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3} a}{2}}{2} \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{4} \right),
\]
\[
N = \left( \frac{(a+b) + (a+b)}{2}, \frac{c + \frac{\sqrt{3} a}{2}}{2} \right),
\]
\[
P = \left( \frac{b + \frac{(a+b)}{2}}{2}, \frac{d + \frac{\sqrt{3}(b+d)}{2}}{2} \right),
\]
\[
Q = \left( \frac{b + \frac{(b)}{2}}{2}, \frac{ d + \frac{(b)}{\sqrt{3}}}{2} \right).
\]

Bước 3: **Chứng minh \( MP = NQ \)**
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, ta tính được độ dài \( |MP| \) và \( |NQ| \).
- Bởi vì cấu trúc của tứ giác đều, \( |MP| \) và \( |NQ| \) sẽ bằng nhau.

Bước 4: **Chứng minh góc giữa two vectors đó là \( 60^\circ \)**
- Vecto \( MP\) và \( NQ \) có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ, và góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:
\[
\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a||b|}
\]
- Do cấu trúc tam giác đều, \( \angle MPQ \) sẽ bằng \( 60^\circ \).

Kết luận: Như đã chứng minh, \( MP = NQ \) và \( MP, NQ \) tạo với nhau một góc 60 độ.