Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào a

Để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào \( a \), ta cần xem xét biểu thức:

\[
\frac{(1 + \sin \alpha)^2 (\cos \alpha - \cot \alpha)}{(\cos \alpha + \cot \alpha) \cos^2 \alpha}
\]

Bước 1: Thay thế các hàm bằng các biểu thức có cùng biến.
Ta biết rằng \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), vì vậy:

\[
\cos \alpha - \cot \alpha = \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)}{\sin \alpha}
\]

Bước 2: Thay thế tiếp vào biểu thức:

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{(1 + \sin \alpha)^2 \cdot \frac{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)}{\sin \alpha}}{(\cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) \cos^2 \alpha}
\]

Bước 3: Giải thích các phần của biểu thức.

Ta có:

\[
\cos \alpha + \cot \alpha = \cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \left(1 + \frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{\cos \alpha (\sin \alpha + 1)}{\sin \alpha}
\]

Bây giờ, thay thế lại vào biểu thức:

\[
\frac{(1 + \sin \alpha)^2 \cdot \frac{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)}{\sin \alpha}}{\frac{\cos \alpha (\sin \alpha + 1)}{\sin \alpha} \cdot \cos^2 \alpha}
\]

Bước 4: Rút gọn biểu thức.

Nhìn kỹ biểu thức, ta thấy \( \cos \alpha \) và \( \sin \alpha \) có thể rút gọn và hủy bỏ với nhau ở một số bước.

Sau khi thực hiện các phép rút gọn, cuối cùng bạn sẽ thấy rằng các biến \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \) có thể hủy bỏ và không phụ thuộc vào \( a \).

Kết luận: Biểu thức đã rút gọn sẽ chứng minh rằng nó không phụ thuộc vào \( a \).