Để xác định giá trị của \( m \) sao cho hàm số

\[
y = x^4 + 4mx^3 + 3(m+1)x^2 + 1
\]

có cực tiểu mà không có cực đại, ta cần phân tích dấu của đạo hàm bậc nhất của hàm số.

1. **Tính đạo hàm bậc nhất**:

\[
y' = 4x^3 + 12mx^2 + 6(m+1)x
\]

2. **Xét điều kiện để tồn tại cực tiểu**:

Hàm số có cực tiểu tại điểm \( x_0 \) nếu \( y' = 0 \) và \( y''(x_0) > 0 \).

3. **Tính đạo hàm bậc hai**:

\[
y'' = 12x^2 + 24mx + 6(m+1)
\]

4. **Giải phương trình** \( y' = 0 \):

Phương trình này sẽ có nghiệm nếu và chỉ nếu biểu thức bậc hai có ít nhất một nghiệm \( x_0 \). Để hàm số \( y' \) chỉ có nghiệm đơn và phần lớn hơn không tại các điểm khác, định nghĩa của nó gợi ý rằng hệ số của \( x^2 \) trong \( y' \) và \( y'' \) phải đảm bảo hàm này không có cực đại.

5. **Yêu cầu**:

- Để \( y' \) có nghiệm duy nhất và \( y''(x_0) > 0 \).
- Điều này thể hiện qua việc tính xử lý delta của \( y' \). Đòi hỏi điều kiện \( D < 0 \).

\[
D = (12m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6(m+1)
\]

Giải bất phương trình này giúp tìm m.

Sau các bước trên, bạn có thể tìm giá trị \( m \) phù hợp với yêu cầu của bài toán.