Tìm x, y sao cho A có giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + 4xy + 5y^2 - 3y + 4 \), bạn có thể áp dụng một số phương pháp như hoàn thành bình phương hoặc sử dụng đạo hàm. Dưới đây là cách sử dụng hoàn thành bình phương.

### Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\)
Biểu thức \( A \) có thể được viết lại như sau:
\[ A = x^2 + 4xy + (5y^2 - 3y + 4) \]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương với \(x\)
Các hạng tử liên quan đến \(x\):
\[ A = (x^2 + 4xy) + (5y^2 - 3y + 4) \]
\[ = (x + 2y)^2 - 4y^2 + 5y^2 - 3y + 4 \]
\[ = (x + 2y)^2 + y^2 - 3y + 4 \]

### Bước 3: Sắp xếp lại hạng tử liên quan đến \(y\)
Tập trung vào phần hạng tử \( y^2 - 3y + 4 \):
\[ = (x + 2y)^2 + (y^2 - 3y + 4) \]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(y\)
Biểu thức \( y^2 - 3y + 4 \) là một phương trình bậc 2. Bạn có thể tìm giá trị nhỏ nhất của nó bằng cách tìm đỉnh:
\[ y_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \]

### Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất tại \(y = \frac{3}{2}\)
Thay \(y = \frac{3}{2}\) vào biểu thức \(y^2 - 3y + 4\):
\[
y^2 - 3y + 4 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \left(\frac{3}{2}\right) + 4
\]
\[
= \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4}
\]

### Bước 6: Thay lại để tính giá trị của \(A\)
Biểu thức tổng thể:
\[ A = (x + 3)^2 + \frac{7}{4} \]

Giá trị nhỏ nhất của \( (x + 2y)^2 \) đạt được khi \(x + 2y = 0\), tức là \( x = -2y \). Nếu \(y = \frac{3}{2}\), thì:
\[ x = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3 \]

### Kết luận
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) xảy ra tại:
\( x = -3 \) và \( y = \frac{3}{2} \).

Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là:
\[
A_{min} = 0 + \frac{7}{4} = \frac{7}{4}
\]

Tóm lại:
- \(x = -3\)
- \(y = \frac{3}{2}\)
- Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\frac{7}{4}\).