Để tìm số dư của biểu thức \( A = 19n^n + 5n^2 + 1890n + 1996 \) khi chia cho \( (n-1)^2 \), ta có thể sử dụng quy tắc chia phần nguyên và phần dư.

Trước tiên, chúng ta cần thay thế \( n \) bằng \( k + 1 \) với \( k = n - 1 \). Khi đó:

\[
n = k + 1
\]

Và do đó:

\[
A = 19(k+1)^{k+1} + 5(k+1)^2 + 1890(k+1) + 1996
\]

Bây giờ chúng ta sẽ tính \( A \) theo \( k \) và sau đó tìm cách rút gọn. Truyền thuộc tính binomial vào \( (k+1)^{k+1} \):

\[
(k+1)^{k+1} = k^{k+1} + \binom{k+1}{1}k^k + \ldots + 1
\]

Nhưng chúng ta không cần phải tính cụ thể mà chỉ cần tính \( A \mod (k^2) \).

Chúng ta sẽ tính \( A \mod (n-1)^2 \) là tương đương với \( A \mod k^2 \).

Sau đó, tính các hạng tử theo modulo đó.

1. **Tính \( 19n^n \mod (n-1)^2 \)**:
- Khi \( n = 1 + k \), với \( k \geq 1 \).
- Ta có \( n^n = (1+k)^{1+k} \mod (k^2) \).

2. **Tính \( 5n^2 \mod (n-1)^2 \)**:
- Ta có \( n^2 = (1+k)^2 = 1 + 2k + k^2 \).

3. **Tính \( 1890n \mod (n-1)^2 \)**:
- Ta có \( 1890n = 1890(1+k) \).

4. **Tính \( 1996 \mod (n-1)^2 \)**:
- 1996 không thay đổi.

Bước tiếp theo là tổng hợp tất cả lại và rút gọn modulo \( (n-1)^2 \).

Sau khi tính toán:

\[
k^2 \text{ và các ít hơn là không đáng kể trong modulo}
\]

Kết luận được sẽ dựa trên kết quả của tính này để có được số dư cụ thể khi chia \( A \) cho \( (n-1)^2 \).

Tóm lại, kết hợp tất cả lại sẽ cho bạn một biểu thức có dạng như sau:

\[
\text{số dư} = r = A \mod (n-1)^2
\]

Có thể tính thực tế cho từng số phù hợp với các n cho tới một bậc nhất định và tìm r trong các giá trị \( n>1 \). Bạn có thể sử dụng phần mềm tính toán hoặc lập trình để xử lý biểu thức và tính từng giá trị cụ thể tùy vào n.

Qua ví dụ đơn giản, bạn sẽ thấy số dư cụ thể cho các n từ 2 trở đi.