Để chứng minh rằng \( 7^{23} + 7^{22} - 7^{21} \) chia hết cho 11, trước hết ta sẽ rút gọn biểu thức này.

Ta có thể factor \( 7^{21} \) ra khỏi biểu thức:
\[
7^{23} + 7^{22} - 7^{21} = 7^{21}(7^2 + 7 - 1)
\]
Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( 7^2 + 7 - 1 \) chia hết cho 11.

Tính giá trị của \( 7 \mod 11 \):
\[
7 \equiv 7 \mod 11
\]
Bây giờ ta tính \( 7^2 + 7 - 1 \mod 11 \):
\[
7^2 = 49
\]
\[
49 \mod 11 = 49 - 4 \cdot 11 = 49 - 44 = 5
\]
Do đó,
\[
7^2 \equiv 5 \mod 11
\]
Tiếp tục tính:
\[
7^2 + 7 - 1 \equiv 5 + 7 - 1 \mod 11
\]
\[
5 + 7 - 1 = 11 \equiv 0 \mod 11
\]
Vậy \( 7^2 + 7 - 1 \) chia hết cho 11.

Cuối cùng, vì \( 7^{21} \) không chia hết cho 11 (vì \( 7 \not\equiv 0 \mod 11 \)), nên \( 7^{23} + 7^{22} - 7^{21} = 7^{21}(7^2 + 7 - 1) \) cũng chia hết cho 11.

Vậy \( 7^{23} + 7^{22} - 7^{21} \) chia hết cho 11, hoàn thành chứng minh.