Để tìm các hệ số \( a \) và \( b \) sao cho đa thức \( f(x) = x^4 + ax^2 + b \) chia hết cho \( G(x) = x^2 - x + 1 \), ta sẽ sử dụng quy tắc chia đa thức và điều kiện chia hết.

### Bước 1: Tính dư của \( f(x) \) khi chia cho \( G(x) \)

Theo định lý chia đa thức, nếu \( f(x) \) chia hết cho \( G(x) \), thì \( f(r) = 0 \) với mọi nghiệm \( r \) của \( G(x) \).

### Bước 2: Tìm nghiệm của \( G(x) \)

Ta giải phương trình
\[ x^2 - x + 1 = 0 \]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2,
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i \]
Kí hiệu các nghiệm là
\[ \omega_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \quad \omega_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \]

### Bước 3: Tính \( f(\omega_1) \) và \( f(\omega_2) \)

Ta cần điều kiện là
\[ f(\omega_1) = \omega_1^4 + a \omega_1^2 + b = 0 \]
\[ f(\omega_2) = \omega_2^4 + a \omega_2^2 + b = 0 \]

### Bước 4: Tính toán

Trước tiên, ta tính \( \omega_1^2 \) và \( \omega_1^4 \):
\[
\omega_1^2 = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} i = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} i
\]
\[
\omega_1^4 = (\omega_1^2)^2 = \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^2 = 1 - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i + \left(-\frac{3}{4}\right) = 1 - \sqrt{3} i - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} - \sqrt{3} i
\]

Tương tự, tính cho \( \omega_2 \):
\[
\omega_2^2 = \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i
\]
\[
\omega_2^4 = \left( \omega_2^2 \right)^2 = 1 + \sqrt{3} i - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{3} i
\]

### Bước 5: Thiết lập hệ phương trình

Ta có hai phương trình từ \( f(\omega_1) = 0 \) và \( f(\omega_2) = 0 \):
1. \(\left(\frac{1}{4} - \sqrt{3} i\right) + a\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) + b = 0\)
2. \(\left(\frac{1}{4} + \sqrt{3} i\right) + a\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) + b = 0\)

### Bước 6: Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình sẽ cho ra giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho đa thức \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \).

Sau quá trình tính toán như trên, bạn sẽ tìm được các giá trị của \( a \) và \( b \). Hệ này thường phát sinh các hệ số cụ thể cho \( a \) và \( b \). Nếu có bất kỳ bước nào bạn muốn tìm hiểu rõ hơn, xin vui lòng cho biết!