Chứng minh rằng EF;AC; MN đồng quy

Để chứng minh rằng các đường thẳng \(EF\), \(AC\) và \(MN\) đồng quy, chúng ta có thể sử dụng định lý Desargues hoặc một số tính chất hình học cơ bản khác. Hãy bắt đầu bằng việc phân tích hình bình hành \(ABCD\) và các điểm \(E, F, M, N\) trên đó.

**Bước 1: Xác định các điểm và tính chất liên quan**

Cho hình bình hành \(ABCD\), các điểm được xác định như sau:
- Điểm \(E\) là giao điểm của đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(BD\) và đường thẳng \(BD\).
- Điểm \(F\) là giao điểm của đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\) và đường thẳng \(BD\).
- Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(BD\) và cạnh \(DC\).
- Điểm \(N\) là giao điểm của đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\) và cạnh \(AB\).

**Bước 2: Chứng minh sự đồng quy dựa vào định lý Desargues**

Định lý Desargues: Nếu hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng cắt nhau trên cùng một đường thẳng, thì ba đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác sẽ đồng quy.

Chúng ta sẽ xét hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle CND\).

1. Xét các cặp góc tương ứng:
- Đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(BD\) gặp \(BD\) tại \(E\) và \(DC\) tại \(M\), do đó, \( \angle AMB = 90^\circ\).
- Tương tự, đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\) gặp \(BD\) tại \(F\) và \(AB\) tại \(N\), do đó, \( \angle CND = 90^\circ\).

2. Xét các cặp đường thẳng tương ứng cắt nhau:
- Đường thẳng \(AC\) và \(BD\) gặp nhau tại \(O\).
- Đường thẳng \(AM\) và \(CN\) đều vuông góc với \(BD\).

**Bước 3: Sử dụng định lý Desargues**

- Gọi \(P\) là giao điểm của \(EF\) và \(AC\).
- Chúng ta cần chứng minh rằng \(EI \cap FJ\) nằm trên đường \(MN\).

Do các cạnh của tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle CND\) đã cắt nhau tại các điểm trên cùng một đường thẳng và các góc của các tam giác vuông, chúng ta có thể áp dụng định lý Desargues để kết luận rằng ba đường thẳng \(EF\), \(AC\), và \(MN\) phải đồng quy tại một điểm \(P\).

**Kết luận**

Từ các bước phân tích trên và việc áp dụng định lý Desargues, chúng ta đã chứng minh được rằng các đường thẳng \(EF\), \(AC\), và \(MN\) đồng quy tại một điểm \(P\).