Cho hình thang AB // CD có D = C. Chứng minh rằng AD = BC. Chứng minh rằng AC = BD. Chứng minh rằng A + C = 180°

Cho hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(D = C\). Ta cần chứng minh các mệnh đề sau:
1. AD = BC
2. AC = BD
3. \(\angle A + \angle C = 180^\circ\)

### Chứng minh 1: AD = BC

Do \(D = C\), tức là điểm \(D\) và \(C\) trùng nhau. Khi đó, hình thang \(ABCD\) biến thành một tam giác cân \(ABD\) có đáy \(AB\).

Vì \(D = C\), ta có \(AD = AC = DC\) và \(BC\) cũng bằng \(BD\). Do đó, chúng ta sẽ chỉ ra:
\[ AD = BD \]

Như vậy, \(AD\) và \(BC\) đều là những đoạn thẳng bằng nhau từ \(A\) đến \(D\) và từ \(B\) đến \(C\).

**Kết quả:** \(AD = BC\).

### Chứng minh 2: AC = BD

Giả sử điểm \(C\) đồng nhất với điểm \(D\), thì khi đó chúng ta có tam giác \( ABD \). Vì hình thang \(AB \parallel CD\) đã biến thành tam giác cân \(ABD\), ta có \(AD = BD\). Và do đối xứng, chúng ta cũng có:
\[ AC = BD \]

**Kết quả:** \(AC = BD\).

### Chứng minh 3: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\)

Vì hình thang \(AB = DC\) biến thành tam giác cân \(ABD\), chúng ta xét các góc trong tam giác này. \(\angle A\) thực chất chính là góc tại đỉnh \(A\) đối diện với cạnh \(BD\), và \(\angle C\) chính là góc đối diện cạnh \(AD\).

Trong một tam giác, tổng các góc luôn bằng \(180^\circ\), do đó ta có:
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Trong trường hợp này, góc \(A\) và \(C\) nằm trên hai cạnh của hình thang song song \(AB \parallel CD\), nghĩa rằng:
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Nhưng vì hình thang này có \(D = C\), chúng ta có ngay:
\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \]

**Kết quả:** \(\angle A + \angle C = 180^\circ\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được ba mệnh đề yêu cầu:
1. \(AD = BC\)
2. \(AC = BD\)
3. \(\angle A + \angle C = 180^\circ\)

Kết quả này là do tính chất của hình thang và việc điểm \(D\) trùng với điểm \(C\).