Tính vận tốc và thời gian dự định

Câu hỏi yêu cầu ta tính vận tốc và thời gian dự định của một chiếc xe tải khi nó di chuyển từ A đến B với các điều kiện vận tốc khác nhau. Hãy giải bài toán như sau:

1. Gọi \( v \) là vận tốc dự định của xe (đơn vị km/h).
2. Gọi \( t \) là thời gian dự định để xe đi từ A đến B (đơn vị giờ).

Theo đề bài:
- Nếu tốc độ của xe giảm 10 km/h thì thời gian đi lâu hơn 45 phút (0.75 giờ).
- Nếu tốc độ của xe tăng 10 km/h thì thời gian đi nhanh hơn 30 phút (0.5 giờ).

Ta có các phương trình sau:

1. \(\frac{S}{v - 10} = t + 0.75\)
2. \(\frac{S}{v + 10} = t - 0.5\)

Trong đó \(S\) là quãng đường từ A đến B. Chúng ta có thể loại bỏ \(S\) bằng cách dùng phương trình vận tốc tương ứng của \(S = v t\):

3. \(S = v t\)

Từ phương trình (1) và (2), ta có sự liên hệ giữa t và \(v\). Sử dụng \(S = vt\) thay cho \(S\), ta có:

\(\frac{vt}{v - 10} = t + 0.75\)
\(\frac{vt}{v + 10} = t - 0.5\)

Ta giải phương trình (1):

\(\frac{vt}{v - 10} = t + 0.75\)
\(vt = (t + 0.75)(v - 10)\)
\(vt = tv - 10t + 0.75v - 7.5\)
\(0.75v - 10t - 7.5 = 0 \Rightarrow 0.75v - 10t = 7.5 \Rightarrow 3v - 40t = 30 \text{ (4)}\)

Giải phương trình (2):

\(\frac{vt}{v + 10} = t - 0.5\)
\(vt = (t - 0.5)(v + 10)\)
\(vt = tv + 10t - 0.5v - 5\)
\(-0.5v + 10t - 5 = 0 \Rightarrow -0.5v + 10t = 5 \Rightarrow -v + 20t = 10 \text{ (5)}\)

Giải hệ phương trình (4) và (5):

\[
\begin{cases}
3v - 40t = 30 \\
-v + 20t = 10
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với 3:

\(-3v + 60t = 30\)

Cộng hai phương trình:

\(3v - 40t - 3v + 60t = 30 + 30\)
\(20t = 60\)
\(t = 3\)

Thay \(t\) vào phương trình thứ hai:

\(-v + 20 \cdot 3 = 10\)
\(-v + 60 = 10\)
\(-v = -50\)
\(v = 50\)

Vậy, vận tốc dự định của xe là \(50\) km/h và thời gian dự định là \(3\) giờ.