Cho a, b, c là các số hữu tỉ sao cho a^2 + b^2 + ((ab + 1)/(a + b))^2 = 2, chứng minh ab + 1 là bình phương của một số hữu tỷ

Chúng ta có \( a, b \) là các số hữu tỉ sao cho phương trình sau đúng:

\[
a^2 + b^2 + \left( \frac{ab + 1}{a + b} \right)^2 = 2
\]

Đầu tiên, đặt \( x = a+b \) và \( y = ab \). Phương trình ban đầu có thể được viết lại dưới dạng mới liên quan đến \( x \) và \( y \).

\[
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = x^2 - 2y
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
x^2 - 2y + \left( \frac{y + 1}{x} \right)^2 = 2
\]

Ta biểu diễn \( \left( \frac{y + 1}{x} \right)^2 \) là:

\[
\left( \frac{y + 1}{x} \right)^2 = \frac{(y + 1)^2}{x^2}
\]

Thay vào phương trình tổng:

\[
x^2 - 2y + \frac{(y + 1)^2}{x^2} = 2
\]

Nhân cả hai vế với \( x^2 \) để loại bỏ mẫu số:

\[
x^4 - 2yx^2 + (y + 1)^2 = 2x^2
\]

Sắp xếp lại các hạng tử:

\[
x^4 - 2yx^2 + y^2 + 2y + 1 = 2x^2
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
x^4 - 2y x^2 - 2x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0
\]

Điều chỉnh thành:

\[
x^4 - 2(y + 1)x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0
\]

Để giả quyết phương trình này, phương pháp tốt là phân tích nghiệm \( x^2 \). Đặt \( z = x^2 \), ta có:

\[
z^2 - 2(y + 1)z + y^2 + 2y + 1 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( z \). Giải phương trình này, áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
z = \frac{2(y + 1) \pm \sqrt{4(y + 1)^2 - 4(y^2 + 2y + 1)}}{2}
\]

\[
z = (y + 1) \pm \sqrt{(y + 1)^2 - (y^2 + 2y + 1)}
\]

\[
z = (y + 1) \pm \sqrt{(y + 1)^2 - (y^2 + 2y + 1)}
\]

\[
z = (y + 1) \pm \sqrt{y^2 + 2y + 1 - y^2 - 2y - 1}
\]

\[
z = (y + 1) \pm \sqrt{0}
\]

\[
z = y + 1
\]

Từ đó, chúng ta có:

\[
x^2 = y + 1
\]

Do đó:

\[
a+b = \sqrt{y + 1}
\]

Vì \( a, b \) là các số hữu tỉ, nên \( x \) cũng phải là hữu tỉ. Do đó \( y+1 \) (tức là \( ab + 1 \)) phải là một số hữu tỉ và là bình phương của một số hữu tỉ (chính là \( x \)).

Vậy, ta chứng minh được rằng \( ab + 1 \) là bình phương của một số hữu tỉ.