Cho tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC. Lấy điểm D thuộc AB và điểm E thuộc AC sao cho AD = AE.

### a) Chứng minh BE = CD
Chúng ta sẽ sử dụng tam giác ABE và tam giác ACD để chứng minh điều này.

Vì tam giác ABC cân tại A nên:
1. AB = AC. (Điều này đúng theo đề bài vì tam giác ABC cân tại A)
2. AD = AE. (Do điểm D và E được chọn sao cho AD = AE)
3. Góc BAD = góc CAE. (Lý do là tam giác cân chia đôi góc tại đỉnh)

Do đó, tam giác ABD và tam giác ACE đều là tam giác cân với cạnh đáy BD và CE tương ứng.

Trong tam giác ABD và ACE:
- AD = AE. (Theo đề bài)
- Góc BAD = góc CAE (Vì tam giác ABC cân)
- AB = AC (Vì tam giác ABC cân)

=> Tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau theo trường hợp (c.g.c) (cạnh-góc-cạnh).

Khi hai tam giác đó bằng nhau thì BE = CD (tương ứng cạnh tương ứng của hai tam giác).

### b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác KBC cân
Do tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (đã chứng minh ở phần a), chúng ta có:
- BD = CE.
- BE = CD. (đã chứng minh ở phần a)

Xét tam giác BEC và tam giác DCB:

Trong tam giác BEC và tam giác DCB có:
1. BD = CE (do tam giác ABC cân tại A).
2. BE = CD (đã chứng minh).
3. Góc BEC bằng góc DCB (vì chúng là các góc đối đỉnh).

=> Tam giác BEC và DCB bằng nhau theo trường hợp (c.g.c) (cạnh-góc-cạnh).

Do đó, BC là cạnh chung của tam giác KBC, và hai tam giác này có các cạnh BE = CD. Vì tam giác BEC và DCB bằng nhau, nên các góc BKC và CKC là bằng nhau. Vậy tam giác KBC là tam giác cân tại K.

### c) Chứng minh AK là đường phân giác của góc A
Để chứng minh AK là phân giác của góc BAC, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của các tam giác đã chứng minh ở trên.

Xét tam giác BAD và tam giác CAE, ta đã có:
- AD = AE.
- AB = AC. (Tam giác cân tại A)

Do đó, tam giác ABD và tam giác AEC là hai tam giác cân. Các tam giác này có cạnh BE = CD và chia đều tại K do BE và CD cắt nhau tại K.

Theo tính chất của hai tam giác cân và các tam giác bằng nhau, AK sẽ là đường trung trực cũng như là trục đối xứng của các cặp tam giác ABD và AEC. Do đó, AK chia góc BAC thành hai góc bằng nhau và nó chính là phân giác của góc BAC.

Vậy AK là đường phân giác của góc A.