Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình \( \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{49} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Lấy căn bậc hai của hai vế của phương trình:
\[
\sqrt{\left( x + \frac{3}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{49}}
\]

2. Nhớ rằng căn bậc hai của một bình phương sẽ cho kết quả là giá trị tuyệt đối của biểu thức bên trong:
\[
\left| x + \frac{3}{2} \right| = \frac{3}{7}
\]

3. Đặt \( x + \frac{3}{2} = \frac{3}{7} \) hoặc \( x + \frac{3}{2} = -\frac{3}{7} \).

4. Giải phương trình thứ nhất:
\[
x + \frac{3}{2} = \frac{3}{7}
\]

Chuyển \( \frac{3}{2} \) sang vế phải:
\[
x = \frac{3}{7} - \frac{3}{2}
\]

Quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 14):
\[
x = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} - \frac{3 \times 7}{2 \times 7} = \frac{6}{14} - \frac{21}{14} = \frac{6 - 21}{14} = \frac{-15}{14}
\]

5. Giải phương trình thứ hai:
\[
x + \frac{3}{2} = -\frac{3}{7}
\]

Chuyển \( \frac{3}{2} \) sang vế phải:
\[
x = -\frac{3}{7} - \frac{3}{2}
\]

Quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 14):
\[
x = -\frac{3 \times 2}{7 \times 2} - \frac{3 \times 7}{2 \times 7} = -\frac{6}{14} - \frac{21}{14} = -\frac{6 + 21}{14} = -\frac{27}{14}
\]

Kết luận: Giá trị của \( x \) có thể là \( \frac{-15}{14} \) hoặc \( \frac{-27}{14} \).

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{-15}{14} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-27}{14}
\]