Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3cm, AC = 4cm

Để giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông \(\triangle ABC\) với \(\angle A = 90^\circ\), đường cao \(AH\), và các cạnh \(AB = 3\) cm, \(AC = 4\) cm, ta có thể thực hiện tuần tự các bước sau:

### a. Tính độ dài các đoạn thẳng \(BC\) và \(AH\)

**Tính độ dài cạnh \(BC\):**

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 3^2 + 4^2 \]
\[ BC^2 = 9 + 16 \]
\[ BC^2 = 25 \]
\[ BC = \sqrt{25} \]
\[ BC = 5 \text{ cm} \]

Như vậy, độ dài cạnh \(BC\) là 5 cm.

**Tính độ dài đường cao \(AH\):**

Đường cao \(AH\) trong tam giác vuông được tính bằng công thức:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]
\[ AH = \frac{3 \cdot 4}{5} \]
\[ AH = \frac{12}{5} \]
\[ AH = 2.4 \text{ cm} \]

Vậy, độ dài đường cao \(AH\) là 2.4 cm.

### b. Tính số đo \(\angle B\) và \(\angle C\)

Để tìm góc \(B\) và góc \(C\), ta có thể dùng các hàm lượng giác trong tam giác vuông:

Tính \(\angle B\):
\[ \tan(\angle B) = \frac{AC}{AB} \]
\[ \tan(\angle B) = \frac{4}{3} \]
\[ \angle B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ \]

Tính \(\angle C\):
\[ \angle C = 90^\circ - \angle B \]
\[ \angle C = 90^\circ - 53.13^\circ \]
\[ \angle C \approx 36.87^\circ \]

Vậy \(\angle B \approx 53.13^\circ\) và \(\angle C \approx 36.87^\circ\).

### c. Tính đoạn BE và CE khi đường phân giác trong \(\angle BAC\) cắt \(BC\) tại \(E\)

Áp dụng định lý đường phân giác trong:
\[ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} \]
\[ \frac{BE}{EC} = \frac{3}{4} \]
Vì \(BC = 5\) cm nên ta có:
\[ BE + EC = 5 \]
Đặt \(BE = 3k\) và \(EC = 4k\):
\[ 3k + 4k = 5 \]
\[ 7k = 5 \]
\[ k = \frac{5}{7} \]

Do đó:
\[ BE = 3k = 3 \times \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \approx 2.14 \text{ cm} \]
\[ EC = 4k = 4 \times \frac{5}{7} = \frac{20}{7} \approx 2.86 \text{ cm} \]

Vậy:
\[ BE \approx 2.14 \text{ cm} \]
\[ CE \approx 2.86 \text{ cm} \]