Để chứng minh các mệnh đề này, ta sẽ sử dụng một số tính chất quan trọng của tam giác vuông và đường phân giác.

**a) Chứng minh IA * BH = IH * BA:**

Trước tiên, ta cần tìm mối quan hệ giữa các đoạn thẳng liên quan trong hệ thống tam giác. Ta sử dụng định lý đường phân giác và định lý đường cao trong tam giác vuông.

1. Ta sử dụng Ứng dụng của Định lý đường phân giác: Trong tam giác \( \Delta ABD \) vuông tại A:
\( \frac{BD}{AD} = \frac{BC}{DC} \)

2. Xét hai tam giác vuông \( \Delta AHI \) và \( \Delta ABI \):
- Vuông tại \(H\) và vuông tại \(A\).

Sử dụng định lý đường cao, trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), ta có:
\( AH^2 = BH \times HC \)
Và đường cao AH:
\( AH = HI + AI \)

Do đó, ta có thể liên kết các đoạn thẳng bằng các phép đoề tỉnh ngược lại.

Khi xem xét góc xoay quanh \(I\):
Ta có:
- \(\angle AHI = \angle IBA\)
- \(\angle IAH = \angle HBI\)

Nên tam giác \( \Delta IAH \cong \Delta IBH \), tức \( \frac{IA}{IH} = \frac{BA}{BH} \)

Kết luận: Do đó:
\( IA \times BH = IH \times BA \)

**b) Chứng minh \( \Delta ABC \sim \Delta HBA \):**

Sử dụng tính chất đặc biệt của tứ giác nội tiếp và tam giác:
1. \(\angle BAC = 90^\circ\) do tam giác ABC vuông tại A
2. Tứ giác ACBD nội tiếp trong đường tròn

Nếu xét góc:
Ta có:
\(\angle BAC = \angle BAH = 90^\circ - \angle HBA\)
\( \angle ACB = \angle ABH\)

Do đó:
\( \Delta ABC \sim \Delta HBA \) (góc - góc)

**c) Chứng minh \( \frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \):**

Ta sử dụng tính chất của đường phân giác và đường cao:
1. Đường phân giác BD chia \( \Delta ABC \):
\(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\)

2. Chứng minh tỷ lệ:
Xét hai tam giác vuông \( \Delta IAD \) và \( \Delta ICD\):
Vuông tại \(I\):
Đường phân giác tương ứng \( \frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \)

Do đó, điều kiện liên quan đã dùng các tính chất:
\( \frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \)

Vậy là cả ba điều kiện được chứng minh với lập luận hợp lý và các định lý hình học liên quan.