Tìm dư trong phép chia

Để tìm dư trong các phép chia \( 27^{2024} \div 25 \) và \( 104^{2022} \div 51 \), chúng ta sẽ sử dụng định lý số dư của Euler.

### a) Tìm dư của \( 27^{2024} \) khi chia cho \( 25 \)

Đầu tiên, tính giá trị của \(\phi(25)\), với \(\phi\) là hàm Euler:

\[
\phi(25) = 25 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 25 \times \frac{4}{5} = 20
\]

Theo định lý Euler, với \( a \) và \( n \) nguyên tố cùng nhau, thì \( a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n \). Ở đây \( 27 \) và \( 25 \) là nguyên tố cùng nhau, nên:

\[
27^{20} \equiv 1 \mod 25
\]

Vậy:

\[
27^{2024} = 27^{20 \times 101 + 4} = (27^{20})^{101} \times 27^4 \equiv 1^{101} \times 27^4 \equiv 27^4 \mod 25
\]

Bây giờ, tính \( 27^4 \):

\[
27^2 = 729 \quad \text{(chúng ta chỉ cần phần dư của 729 với 25)}
\]
\[
729 \mod 25 = 4
\]

Nên:

\[
27^2 \equiv 4 \mod 25
\]

Tiếp theo:

\[
27^4 = (27^2)^2 \equiv 4^2 = 16 \mod 25
\]

Vậy, dư của \( 27^{2024} \) khi chia cho \( 25 \) là:

\[
\boxed{16}
\]

### b) Tìm dư của \( 104^{2022} \) khi chia cho \( 51 \)

Đầu tiên, tính giá trị của \(\phi(51)\):

\[
\phi(51) = 51 \left(1 - \frac{1}{3}\right) \left(1 - \frac{1}{17}\right) = 51 \times \frac{2}{3} \times \frac{16}{17} = 32
\]

Theo định lý Euler, với \( a \) và \( n \) nguyên tố cùng nhau, thì \( a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n \). Ở đây \( 104 \) và \( 51 \) là nguyên tố cùng nhau, nên:

\[
104^{32} \equiv 1 \mod 51
\]

Vậy:

\[
104^{2022} = 104^{32 \times 63 + 6} = (104^{32})^{63} \times 104^6 \equiv 1^{63} \times 104^6 \equiv 104^6 \mod 51
\]

Chúng ta tiếp tục tính:

\[
104 \equiv 2 \mod 51
\]

Nên:

\[
104^6 \equiv 2^6 \mod 51 = 64 \mod 51 = 13
\]

Vậy, dư của \( 104^{2022} \) khi chia cho \( 51 \) là:

\[
\boxed{13}
\]

Vậy đáp án cuối cùng là:
- Dư của \( 27^{2024} \) chia cho 25 là \( \boxed{16} \).
- Dư của \( 104^{2022} \) chia cho 51 là \( \boxed{13} \).