Để xác định hệ số \(a\) của đường thẳng \(y = ax + \sqrt{2}\) trong các trường hợp được đưa ra, chúng ta cần phân tích từng trường hợp.

### a) Đường thẳng \(y = ax + \sqrt{2}\) song song với đường thẳng \(y = -\frac{1}{2}x + 1\)

Hai đường thẳng song song với nhau nếu như hệ số góc (hệ số của \(x\)) của chúng bằng nhau. Do đó, hệ số \(a\) của đường thẳng \(y = ax + \sqrt{2}\) phải bằng hệ số góc của đường thẳng \(y = -\frac{1}{2}x + 1\).

Hệ số góc của đường thẳng \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) là \(-\frac{1}{2}\).

Vậy, hệ số \(a\) của đường thẳng \(y = ax + \sqrt{2}\) là \(-\frac{1}{2}\).

### b) Đường thẳng \(y = ax + \sqrt{2}\) cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) có hoành độ \(x = \sqrt{2}\)

Để xác định \(a\) trong trường hợp này, chúng ta sẽ tìm giao điểm của hai đường thẳng khi hoành độ \(x = \sqrt{2}\).

Gọi phương trình các đường thẳng là:
1. \(y = ax + \sqrt{2}\)
2. \(y = 2x + 1\)

Khi \(x = \sqrt{2}\):

1. Thay \(x = \sqrt{2}\) vào phương trình \(y = ax + \sqrt{2}\), ta có:
\[ y = a\sqrt{2} + \sqrt{2}\]

2. Thay \(x = \sqrt{2}\) vào phương trình \(y = 2x + 1\), ta có:
\[ y = 2\sqrt{2} + 1 \]

Vì tại giao điểm, giá trị \(y\) của hai đường thẳng phải bằng nhau, do đó:
\[ a\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 1 \]

Giải phương trình này để tìm \(a\):
\[ a\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 1 \]
\[ a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} \]
\[ a\sqrt{2} = \sqrt{2} + 1 \]
\[ a = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ a = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ a = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ a = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \]

Vậy, hệ số \(a\) của đường thẳng \(y = ax + \sqrt{2}\) là \(\frac{2 + \sqrt{2}}{2}\).