Giải phương trình sau

Để giải phương trình sau:

\[
\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x^2 - 16x + 11}
\]

Chúng ta cần lần lượt thực hiện các bước dưới đây:

1. **Đặt điều kiện xác định:** Tất cả các biểu thức dưới căn phải không âm.
- \( x^2 + 2x \geq 0 \)
- \( 2x - 1 \geq 0 \)
- \( 3x^2 - 16x + 11 \geq 0 \)

2. **Biến đổi và giải các điều kiện:**
- \( x(x + 2) \geq 0 \) ⇒ \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 0 \)
- \( x \geq \frac{1}{2} \)
- Xem xét nghiệm: \( 3x^2 - 16x + 11 \geq 0 \)

Kết hợp điều kiện này lại: \( x \geq \frac{1}{2} \) vì đây là giá trị lớn nhất so với các giá trị khác.

3. **Giải bình phương phương trình:**

Bình phương hai vế phương trình:
\[
(\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x - 1})^2 = (\sqrt{3x^2 - 16x + 11})^2
\]

Từ đó ta có:
\[
x^2 + 2x + 2\sqrt{(x^2 + 2x)(2x - 1)} + 2x - 1 = 3x^2 - 16x + 11
\]

Kết hợp các hạng tử tương tự:
\[
2\sqrt{(x^2 + 2x)(2x - 1)} = 3x^2 - 16x + 11 - x^2 - 2x + 1
\]

Tiếp tục biến đổi:
\[
2\sqrt{(x^2 + 2x)(2x - 1)} = 2x^2 - 18x + 12
\]

Chia hai vế cho 2:
\[
\sqrt{(x^2 + 2x)(2x - 1)} = x^2 - 9x + 6
\]

Bình phương hai vế lần nữa:
\[
(x^2 + 2x)(2x - 1) = (x^2 - 9x + 6)^2
\]

4. **Giải phương trình đã bình phương:**

Mở rộng và giải phương trình mới để tìm nghiệm thích hợp theo điều kiện ban đầu \(x \geq \frac{1}{2}\).

Các bước tiếp theo có thể rất phức tạp và cần kiên nhẫn để giải các phương trình bậc cao. Hãy thử các nghiệm xấp xỉ hoặc sử dụng công cụ giải toán để tìm giá trị chính xác.