Để tính biểu thức \(\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha\) với \(\sin \alpha = a\), ta sẽ làm các bước sau đây:

1. Đầu tiên, ta dùng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) để tìm \(\cos \alpha\):

\[ \sin^2 \alpha = a^2 \]
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - a^2 \]

2. Bây giờ, ta biểu diễn \(\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha\) dưới dạng khác:

\[ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 \]

3. Ta nhận ra rằng biểu thức trên là dạng hiệu hai bình phương:

\[ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = ( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha )( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha ) \]

4. Ta biết rằng \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), nên biểu thức trở thành:

\[ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = ( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha ) \cdot 1 \]
\[ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]

5. Thay giá trị \( \cos^2 \alpha \) và \( \sin^2 \alpha \) vào:

\[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (1 - a^2) - a^2 \]
\[ = 1 - a^2 - a^2 \]
\[ = 1 - 2a^2 \]

Vậy, \(\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = 1 - 2a^2\).